Гидростатика

1. Зависимость давления жидкости от глубины

Напомним, что давление p определяется соотношением

p = F/S, (1)

где F – модуль силы давления, S – площадь поверхности, на которую действует сила давления. Сила давления направлена перпендикулярно поверхности.

Давление является скалярной величиной. Его измеряют в Н паскалях (Па): 1 Па = 1 Н/м². Атмосферное давление равно прим мерно 10⁵ Па. Вышележащие слои жидкости давят своим весом на нижележащие слои. Поэтому давление в жидкости с глубиной возрастает. Зависимость давления жидкости от глубины можно вывести, найдя силу давления на дно цилиндрического сосуда.

? 1. Покажите, что давление жидкости плотностью ρ на глубине h (без учета атмосферного давления) выражается формулой

p = ρgh. (2)

Подсказка. Найдите силу давления жидкости на дно цилиндрического сосуда и воспользуйтесь формулой (1).

Если на поверхность жидкости оказывается внешнее давление pвнеш (например, давление поршня или давление атмосферы), то давление жидкости на глубине h выражается формулой

p = p_внеш + ρgh.

? 2. На какой глубине давление в озере в 2 раза больше атмосферного? Во многих задачах (например, при нахождении силы Архимеда) имеет значение лишь разность давлений жидкости на различных глубинах, а в этой разности вклад атмосферного давления сокращается. Поэтому в таких случаях атмосферное давление не учитывают, то есть давление на глубине h находят по формуле (2). Мы тоже будем так поступать, не оговаривая этого каждый раз особо.

Если в сосуде находятся несколько несмешивающихся жидкостей с различной плотностью, то создаваемое ими давление равно сумме давлений, создаваемых слоем каждой жидкости.

? 3. В цилиндрическом сосуде с площадью дна 1 дм² находятся вода и керосин (эти жидкости не смешиваются). Общая масса жидкостей 2,8 кг, верхний уровень керосина находится на высоте 30 см от дна. Плотность керосина составляет 0,8 от плотности воды.
а) На какой высоте от дна находится граница раздела жидкостей?
б) Чему равна масса керосина?

? 4. В U-образной трубке с одинаковыми коленами, площадью поперечного сечения 10^-3 м² каждое, находится вода (рис. 37.1). В левое колено наливают 0,1 кг керосина.

а) Изобразите на чертеже положение жидкостей в коленах трубки.
б) Чему равна высота столба керосина?
в) Чему равно давление жидкостей на уровне границы раздела жидкостей?
г) Чему равна высота столба воды в правом колене над уровнем раздела жидкостей?
д) Насколько поднялся уровень воды в правом колене по сравнению с начальным положением?
Подсказка. В правом колене уровень воды поднялся настолько же, насколько он опустился в левом колене (поскольку объем воды не изменился).

2. Закон Архимеда

Рассмотрим силы давления жидкости на погруженный в жидкость куб (рис. 37.2).

Силы давления на боковые грани куба взаимно уравновешиваются. Но силы давления на верхнюю и нижнюю грани не уравновешиваются: поскольку давление жидкости увеличивается с глубиной, на нижнюю грань куба действует большая сила давления, чем на верхнюю.

Следовательно, равнодействующая сил давления, действующих на все участки поверхности куба, направлена вверх. Это – выталкивающая сила, или сила Архимеда, знакомая вам из курса физики основной школы.

? 5. Чему равна сила Архимеда, действующая на куб с длиной ребра a, погруженный в жидкость плотностью ρ?

Найдем, чему равен модуль силы Архимеда, действующей на тело произвольной формы, куда эта сила направлена и в какой точке приложена. На рисунке 37.3, а красными стрелками схематически изображены силы давления жидкости, действующие на участки тела одинаковой площади. С увеличением глубины эти силы увеличиваются.

Мысленно заменим погруженное в жидкость тело этой же жидкостью. На участки поверхности этого «жидкого» тела будут действовать такие же силы давления, что и на данное тело (рис. 37.3, б). Следовательно, равнодействующая сил давления, действующая на жидкость в объеме данного тела, будет такой же, как и сила Архимеда, действующая на само данное тело.

Заметим теперь, что выделенный объем жидкости находится внутри той же жидкости в равновесии. Следовательно, действующие на него сила тяжести _т и сила Архимеда _А уравновешивают друг друга, то есть они равны по модулю и направлены противоположно (рис. 37.3, в). Отсюда следует, что
на погруженное в жидкость тело действует направленная вверх сила Архимеда _А, равная по модулю весу жидкости в объеме погруженной в жидкость части тела:

F_A = ρgV_погр. (3)

Приведенный вывод показывает, что сила Архимеда приложена в центре тяжести вытесненного телом объема жидкости (рис. 32.3, в).

Полученное выражение для силы Архимеда и утверждение о точке ее приложения справедливы и тогда, когда тело погружено в жидкость лишь частично.

? 6. На концах легкого стержня длиной ( подвешены алюминиевый и латунный шары равной массы. Система находится в равновесии. Стержень вместе с шарами погружают в воду.
а) Сохранится ли равновесие стержня? И если нет, то какой шар в воде перевесит?
б) В сторону какого шара надо передвинуть точку подвеса стержня, чтобы он в воде находился в равновесии?
в) Обозначим длину стержня l, массы шаров m, плотности воды, алюминия и латуни ρ_в, ρ_а и ρ_л, а объемы шаров V_а и V_л. Модуль смещения точки подвеса обозначим x. Объясните, почему справедливо уравнение:

г) Насколько надо передвинуть точку подвеса стержня, чтобы он в воде находился в равновесии, если l = 1 м, плотность латуни в 3 раза больше плотности алюминия, а плотность алюминия в 2,7 раза больше плотности воды?

? 7. Ко дну аквариума прикреплена пружина, к верхнему концу которой прикреплен деревянный шар (рис. 37.4). Чему равна плотность дерева, если энергия упругой деформации пружины не изменилась после того, как в аквариум налили воду? Считайте, что шар полностью погружен в воду.

? 8. Подвешенная за один конец тонкая пластмассовая палочка массой m и длиной l частично погружена в воду и находится в равновесии в наклонном положении (рис. 37.5). При этом длина погруженной в воду части палочки равна l₁. Обозначим площадь поперечного сечения палочки S, плотность пластмассы ρ_п, плотность воды ρ_в.

а) Изобразите на чертеже действующие на палочку силу тяжести и силу Архимеда. Объясните, почему справедливы уравнения:

б) Чему равна плотность пластмассы, если l₁ = 0,5l?

Палочка в стакане с водой

Вернемся к палочке в стакане, рассмотренной в § 36. Но пусть теперь стакан доверху наполнен водой (рис. 37.6). Будем считать, что при этом положение палочки не изменилось.

? 9. Как и почему изменилась сила давления края стакана на палочку после заполнения стакана водой?
Введем обозначения:
l – длина палочки,
S – площадь ее поперечного сечения,
m – масса палочки,
ρ – плотность палочки,
ρ_в – плотность воды,
h – высота стакана,
d – его диаметр.

Для упрощения формул удобно обозначить α угол между палочкой и вертикалью, а длину находящейся в стакане части палочки b (α и b можно выразить через h и d, но удобнее ввести для них свои обозначения, чтобы упростить формулы).

Силу, действующую на палочку со стороны края стакана, обозначим _к, а силу Архимеда – _A.

? 10. Обозначьте на чертеже в тетради все действующие на палочку силы и объясните, почему справедливы уравнения:

? 11. В гладком цилиндрическом стакане диаметром 6 см и высотой 8 см находится тонкая палочка длиной 15 см. Плотность палочки в 2 раза больше плотности воды. Во сколько раз уменьшится сила давления палочки на край стакана после того, как его наполнят водой?

3. Плавание тел

Условие плавания тел

Когда тело плавает, действующая на него сила Архимеда _A уравновешивает силу тяжести _т. Следовательно,

F_A = F_т. (4)

Это справедливо для любого тела и любой жидкости, причем независимо от того, погружено тело в жидкость полностью (рис. 37.7, а) или частично (рис. 37.7, б).

(Точка приложения силы Архимеда может не совпадать с точкой приложения силы тяжести. Но поскольку здесь используется только первое условие равновесия, мы изображаем на чертеже эти силы приложенными в одной точке.)

? 12. В воде и керосине плавают одинаковые деревянные шарики. На какой шарик действует большая сила Архимеда?

Плавание однородных тел

Масса m однородного тела связана с его плотностью ρт и объемом V соотношением

m = ρ_тV. (5)

А сила Архимеда равна весу жидкости в объеме погруженной части тела. Обозначим плотность жидкости ρж, а объем погруженной в жидкость части тела V_погр. Тогда

F_А = ρ_жgV_погр. (6)

? 13. Объясните, почему справедливо соотношение

V_погр/V = ρ_т/ρ_ж. (7)

Подсказка. Воспользуйтесь формулами (4), (5), (6).

? 14.Вернемся к двум одинаковым деревянным шарикам, первый из которых плавает в воде, а второй – в керосине. Масса каждого шарика 100 г.
а) Для какого шарика объем погруженной части больше?
б) Насколько объем погруженной части одного шарика больше, чем другого?

Пусть теперь тело плавает на границе двух жидкостей (рис. 37.8). Как найти объем погруженной в каждую жидкость части тела?

Рассуждая как и при выводе выражения (3) для силы Архимеда, заменим части тела, находящиеся в разных жидкостях, двумя «телами» того же объема и формы, состоящими из соответствующих жидкостей. (При этом надо считать погруженной в верхнюю жидкость часть тела, находящуюся выше границы раздела жидкостей (пунктир на рисунке 37.10), а в нижнюю – ниже этой границы.)

Эти тела будут находиться в равновесии в «своих» жидкостях. Следовательно, равнодействующая сил давления, приложенных ко всем частям поверхности тела, направлена вверх и равна по модулю суммарному весу жидкостей в объеме, вытесненном телом.

? 15. Когда брусок плавает на границе двух жидкостей, К . верхняя (более легкая) жидкость давит на него вниз (рис. 37.9)! Почему же при нахождении действующей на брусок выталкивающей силы нужно считать, что сила Архимеда, действующая на него со стороны более легкой жидкости, направлена вверх?

? 16. Тело объемом V и плотностью ρт плавает на границе двух жидкостей, плотности которых ρ₁ и ρ₂. Обозначим объемы частей тела, погруженных в каждую жидкость, V₁ и V₂. Объясните, почему справедливо следующее уравнение:

ρ₁V₁ + ρ₂V₂ = ρтV.

? 17. Пластмассовый брусок высотой 10 см плавает на границе воды и керосина, причем брусок погружен в воду на 4 см. Чему равна плотность бруска?

Плавание неоднородных тел

Если тело неоднородно (например, изготовлено из различных материалов или имеет полость), то объем погруженной в жидкость части тела также можно найти, используя формулу (4). Напомним: она утверждает, что действующая на плавающее тело сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

? 18. Полый медный шар плавает на поверхности воды. Радиус шара 10 см, а толщина стенок – 1 мм. Какая часть объема шара погружена в воду?
Подсказка. Объем шара радиусом r и площадь его поверхности выражаются формулами V = (4πr³)/3, S = 4πr². Если толщина стенок шара d намного меньше его радиуса, объем его стенок (оболочки) с хорошей степенью точности выражается формулой V_об = Sd, где S – площадь поверхности шара.

? 19. На поверхности воды плавает плоская льдина площадью 5 м² и толщиной 10 см. Плотность льда составляет 0,9 от плотности воды.
а) Груз какой наименьшей массы надо поставить на льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду?
б) Какую минимальную работу надо совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

Подсказка. В данном случае при нахождении работы по подъему или погружению тела можно брать среднее арифметическое значений силы Архимеда, действующей на тело в начальном и конечном состояниях.

Теряет ли в весе погруженное в воду тело?

Поставим опыт
Взвесим цилиндр из легкого металлического сплава и стакан, наполовину наполненный водой (рис. 37.10, а), А затем погрузим подвешенный к динамометру цилиндр в стакан с водой (рис. 37.10, б).

Мы увидим, что показания динамометра уменьшились. Это легко объяснить: на погруженный в воду цилиндр действует сила Архимеда.
Означает ли это, что вес погруженного в жидкость тела уменьшается на величину, равную выталкивающей силе?

Нет, не означает! Вспомним, что вес – это сила, с которой тело растягивает подвес или давит на опору. При погружении цилиндра в воду его вес не уменьшился, а перераспределился: на подвес (динамометр) приходится теперь только часть веса цилиндра, а оставшаяся часть веса приходится на опору (воду). В этом легко убедиться: при погружении цилиндра в воду показания весов, на которых стоит стакан с водой, увеличились настолько же, насколько уменьшились показания динамометра, к которому подвешен цилиндр.

Когда человек лежит на воде (рис. 37.11), действующая на него сила Архимеда уравновешивает силу тяжести. Но этот человек не находится в невесомости: вода служит ему очень мягкой, но все-таки опорой, Вес человека приложен к воде и равен силе тяжести (как для любого покоящегося тела).

? 20. Находится ли в состоянии невесомости рыба в воде?

Дополнительные вопросы и задания

21. Когда подвешенное к динамометру тело погружено в воду, показания динамометра равны P_в, а когда это же тело погружено в керосин, показания динамометра равны P_к. Чему будут равны показания P динамометра, если тело будет находиться в воздухе? Считайте, что плотность тела больше плотности воды, а плотность керосина составляет 0,8 от плотности воды.

22. В сосуде с водой плавает куб плотностью 900 кг/м³. Длина ребра куба 10 см. Поверх воды наливают слой керосина так, что верхний уровень керосина оказывается вровень с верхней гранью куба.
а) Какова толщина слоя керосина?
б) Насколько изменилась глубина погружения куба в воду?

23. На концах легкого стержня длиной 1 м уравновешены алюминиевый и латунный шары равного объема. Стержень вместе с шарами погружают в воду. Сохранится ли равновесие стержня? И если нет, то какой шар в воде перевесит?

24. К деревянному шару массой 20 кг и плотностью 400 кг/м³ прикреплена длинная стальная цепь. Масса 1 м цепи равна 1 кг. Плотность стали примите равной 8 * 10³ кг/м³. Шар с цепью опускают в озеро так, что часть цепи лежит на дне. На какой высоте от дна будет находиться в равновесии шар, если он полностью погружен в воду? Считайте, что радиусом шара по сравнению с глубиной погружения можно пренебречь.

25. В высоком гладком цилиндрическом стакане диаметром 6 см находится тонкая палочка длиной 10 см и массой 100 г (рис. 37.12). Плотность палочки в 2 раза больше плотности воды. С какой силой давит верхний конец палочки на стенку стакана, когда в стакан налита вода до середины палочки?

Подсказка. Искомая сила направлена горизонтально. Примените второе условие равновесия относительно нижнего конца палочки.