Свободное падение

Со времен Аристотеля считалось, что более тяжелые тела падают быстрее легких.

Если одно тело, например, в сто раз тяжелее другого, то, согласно Аристотелю, оно и падать должно в сто раз быстрее (и если они одновременно упадут с высоты ста локтей, то к моменту, когда более тяжелое долетит до земли, более легкое пролетит лишь расстояние в один локоть, отстав от первого на 99 локтей). Почему он так думал, неизвестно. Никаких специальных опытов Аристотель не проводил. По словам О. Лоджа, «ему, возможно, припомнились камень и пушинка, и он удовлетворился». Удовлетворились этим и все остальные. Взгляды Аристотеля казались людям настолько естественными и очевидными, что на протяжении последующих восемнадцати столетий почти никто не подвергал их сомнению.

Однако в 1553 г. итальянский ученый Джовани Бенедетти опубликовал статью, в которой заявил, что, вопреки Аристотелю, два тела одинаковой формы и одинаковой плотности, но разного веса в одной и той же среде проходят равные расстояния за равное время. Это утверждение требовало опытного подтверждения. Поэтому начиная с конца XVI в. то в одном, то в другом месте разные ученые начинают проводить опыты, сбрасывая тяжелые предметы с высоких башен. Самые первые из них проводились в Пизе со знаменитой падающей башни (рис. 103). Согласно легенде, впервые это сделал Галилей. «В одно прекрасное утро,— пишет О. Лодж,— в присутствии всего университета он поднялся на известную падающую башню, взяв с собой два ядра: стофунтовое и однофунтовое. Он установил их на краю башни и отпустил оба одновременно. Они полетели вместе и вместе же достигли земли. Глухой удар падающих ядер о землю прозвучал как похоронный звон над старой системой физики и возвестил о зарождении новой».

Когда один из сторонников теории Аристотеля упрекнул Галилея в том, что, говоря об одновременном падении тяжелого и легкого шаров, тот искажает истину, ученый ответил: «Проделав опыт, вы найдете, что больший опередит меньший на два пальца, так что когда больший упадет на землю, то меньший будет от нее на расстоянии толщины двух пальцев.

Этими двумя пальцами вы хотите закрыть девяносто девять локтей Аристотеля и, говоря о моей небольшой ошибке, умалчиваете о громадной ошибке другого... Причина различной скорости падения тел различного веса не заключается в самом их весе, а обусловливается внешними причинами — главным образом сопротивлением среды, так что если бы устранить последнее, то все тела падали бы одинаково быстро».

Это действительно так, и если проводить опыт с падением тел в трубке, из которой откачан воздух, то мы увидим, что легкое перышко упадет так же быстро, как и свинцовая дробинка. В процессе падения они пролетят одно и то же расстояние за одно и то же время и коснутся дна трубки в один и тот же момент времени. Поскольку путь находится по формуле s = at²/2, то из одновременности падения тел следует, что их движение происходит с одним и тем же ускорением.

Напомним, что падение тел под действием только поля тяжести (в отсутствие сопротивления воздуха) называют свободным падением, а ускорение, с которым оно происходит, обозначают буквой g и называют ускорением свободного падения.

Обобщенный закон Галилея гласит:

В одном и том же гравитационном поле свободное падение всех тел, независимо от их массы и объема, происходит с одним и тем же ускорением.

Строгое доказательство этого закона можно дать на основе закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона. Согласно второму закону Ньютона, ускорение свободного падения равно отношению силы тяжести, действующей на падающее тело, к его массе:

g = F_т/m.

Подставляя в эту формулу выражение (42.2), получаем

g = G(M_з/r²)      (43.1)

где r — расстояние от тела до центра Земли (r = R_з + h). Масса падающего тела m здесь сократилась и в формулу (43.1) не вошла. Это и означает, что ускорение свободного падения не зависит от массы тела (а также от его объема, плотности и других характеристик) и поэтому для всех тел оказывается одинаковым. Как заметил известный американский физик Ю. Вигнер, эта удивительная закономерность «наблюдается безотносительно к тому, идет ли дождь или нет, проводится ли эксперимент в закрытой комнате или камень бросают с Пизанской падающей башни и кто бросает камень — мужчина или женщина».

Из формулы (43.1) видно, что с удалением тела от Земли ускорение свободного падения g убывает. Вблизи поверхности Земли (когда h << R_з и r ≈ R_з) ускорение свободного падения находится по формуле

g = G(M_з/R_з²)      (43.2)

и составляет примерно 9,8 м/с². Это среднее значение ускорения. Из-за сплюснутости Земли, а также из-за ее вращения вокруг своей оси ускорение свободного падения на разных широтах оказывается различным: на экваторе, например, оно равно 9,780 м/с², а на Северном полюсе — 9,832 м/с².

Для определения ускорения свободного падения в том или ином конкретном месте можно воспользоваться нитяным маятником. Период свободных колебаний такого маятника, как известно, находится по формуле

T = 2π√(l/g)

Зная длину нити l и измерив период колебаний T, можно с помощью этой формулы найти ускорение свободного падения g.

Подставляя в формулу (43.2) значения g = 9,8 м/с², R_з = 6,4 · 10⁶ м, G = 6,67 · 10^–11 Н · м²/кг², можно определить массу Земли M_з. Впервые это было сделано Генри Кавендишем, который после этого с гордостью заявил, что «взвесил Землю».

Из-за неоднородного строения земной коры и недр, горных массивов и впадин, а также залежей полезных ископаемых местные значения g могут отличаться от их средних значений gср. Разности значений g и g_ср называются гравитационными аномалиями:

Δg = g – g_ср

Положительные аномалии (когда g > g_cp) часто свидетельствуют о залежах металлических руд, а отрицательные (когда g < g_ср) — о залежах легких полезных ископаемых, например нефти и газа.

Метод нахождения залежей полезных ископаемых по точному измерению ускорения свободного падения широко применяется на практике и носит название гравиметрической разведки.

??? 1. Что называют свободным падением? 2. Сформулируйте и докажите обобщенный закон Галилея. Какие опыты его подтверждают? 3. От чего зависит ускорение свободного падения? 4. На каком этаже высотного здания — первом или последнем — тела падают с большим ускорением? 5. Где ускорение свободного падения больше — на полюсе или экваторе? Почему? 6. На чем основана гравиметрическая разведка полезных ископаемых? Из-за чего возникают гравитационные аномалии? 7. Каким образом Кавендиш «взвесил» Землю? Вычислите массу Земли.