Неравномерное движение по окружности в вертикальной плоскости

1. Груз, подвешенный на нити и стержне

Шарик массой m подвешен в точке O на нити длиной l (рис. 33.1). Отведем его на угол 90' и отпустим без толчка. Шарик начнет двигаться по окружности.

Обозначим скорость, с которой шарик проходит положение равновесия (рис. 33.2).

? 1. Используя рисунок 33.2, ответьте на вопросы:
а) Какие силы показаны на рисунке?
б) Как направлено ускорение шарика?
в) Выразите модуль равнодействующей через модули показанных сил.

? 2. Перенесите в тетрадь рисунок 33.2, укажите на нем ускорение шарика и объясните смысл следующих уравнений:

? 3. Шарик массой 100 г подвешен на нити длиной 1 м. Его отклоняют на 90º и отпускают без толчка.
а) Чему равна сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия?
б) Во сколько раз вес шарика при прохождении положения равновесия больше силы тяжести?
Подсказка. Чтобы найти силу натяжения нити, удобно разделить уравнение (2) иа уравнение (1). Вспомните определение веса тела.

Итак, в данном случае при прохождении шариком положения равновесия нить должна выдержать «тройной вес»!

Поставим опыт

Сообщим шарику в нижней точке такую скорость _н, чтобы он двигался в вертикальной плоскости по окружности (рис. 33.3).

На рисунке показаны последовательные положения шарика через равные промежутки времени (их можно зафиксировать, например, с помощью видеосъемки).

? 4. Почему в верхней части рисунка расстояния между последовательными положениями шарика меньше?

? 5. Сделайте в тетради чертеж, на котором изобразите:
а) силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности (обозначьте _в и _н силы натяжения нити в этих точках);
б) ускорение шарика в этих точках. В верхней точке ускорение направлено вниз, а в нижней – вверх.

? 6. Объясните смысл следующих уравнений:

? 7. Подвешенный на нити шарик массой 100 г вращается в вертикальной плоскости. Насколько больше сила натяжения нити, когда шарик проходит положение равновесия, чем когда он находится в верхней точке окружности?
Подсказка. Удобно вычесть уравнение (4) из уравнения (б) и сравнить полученное уравнение с уравнением (3).

«Шестикратный вес»

Шарик движется но окружности при условии, что нить натянута. Поэтому минимальная скорость, которую нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он стал двигаться по окружности„должна быть такой, чтобы сила натяжения нити обратилась в нуль только в верхней точке окружности.

? 8. Шарику, подвешенному на нити длиной l, сообщили в нижней точке минимальную горизонтальную скорость, необходимую для того, чтобы он начал двигаться по окружности. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шарик в верхней и нижней точках окружности. Чему в этом случае равны:
а) скорость шарика в верхней точке окружности?
б) ускорение шарика в верхней точке окружности?
в) скорость шарика в нижней точке окружности?
г) вес шарика в нижней точке окружности?
Подсказка. Воспользуйтесь уравнениями (3)–(5).

Итак, когда груз проходит нижнюю точку, нить должна выдерживать шестикратный вес груза!

В какой точке шарик сойдет с окружности?

Пусть теперь скорость шарика в нижней точке недостаточна для того, чтобы он мог совершить полный оборот.

В таком случае есть две возможности.

1) Шарик не поднимется выше точки подвеса О. Тогда он начнет колебаться между крайними положениями (рис. 33.4).

2) Шарик поднимется выше точки подвеса, но сила натяжения нити обратится в некоторой точке А в нуль (рис. 33.5). После этого шарик будет двигаться по параболе, показанной красным пунктиром. Когда шарик находится в точке А, центростремительное ускорение ему сообщает только составляющая силы тяжести, направленная вдоль радиуса к центру окружности. На рисунке показано, как найти модуль этой составляющей (отрезок зеленого цвета).

? 9. Шарику массой m, подвешенному на нити длиной l, сообщают горизонтальную начальную скорость v₀. Когда шарик находится на высоте h, сила натяжения нити обращается в нуль. Обозначим скорость шарика в этот момент. Используя рисунок 33.6:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через l и альфа.

? 10. Шарику массой 200 г, подвешенному на нити длиной 50 см, сообщают горизонтальную скорость 4 м/с.
а) До какой высоты (по отношению к положению равновесия) шарик будет двигаться по окружности?
б) Чему будет равна сила натяжения нити, когда шарик будет находиться на одной горизонтали с точкой подвеса?
Подсказка. Когда шарик находится на одной горизонтали с точкой подвеса, центростремительное ускорение шарику сообщает только сила натяжения нити.

? 11. Небольшая шайба массой m лежит внутри закрепленного цилиндра. Ось цилиндра горизонтальна (рис. 33.7). Внутренний радиус цилиндра 30 см, стенки цилиндра гладкие. Какую скорость v0 надо сообщить шайбе перпендикулярно оси цилиндра, чтобы она:
а) совершила полный оборот, двигаясь по окружности?
б) оторвалась от поверхности цилиндра на высоте 40 см?

Подсказки. Движение шайбы в цилиндре отличается от движения подвешенного на нити шарика только тем, что роль силы натяжения нити играет сила нормальной реакции, а длину нити l надо заменить на радиус цилиндра r.

Груз, подвешенный на стержне

Рассмотрим теперь вращение груза, подвешенного на легком стержне (массой стержня можно пренебречь). В отличие от нити стержень сохраняет форму и поэтому не дает грузу сойти с окружности. По этой причине минимально возможная скорость груза в верхней точке равна нулю.

? 12. Шарик подвешен на легком стержне длиной l, который может вращаться без трения вокруг точки подвеса O.
а) Какова минимально возможная скорость шарика в верхней точке траектории?
б) Какую минимальную скорость надо сообщить шарику в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот?
в) Чему равен вес шарика в нижней точке?

Итак, подвешенному на стержне шарику надо сообщить меньшую начальную скорость, чтобы он сделал полный оборот, чем в случае, когда шарик подвешен на нити той же длины.

2. Движение по «мертвой петле»

Рассмотрим движение тела в вертикальной плоскости по гладкому желобу, переходящему в окружность (рис. 33.8). По аналогии с фигурой высшего пилотажа, когда самолет совершает круговой виток в вертикальной плоскости, такое движение называют иногда мертвой петлей.

Движение по круговому желобу очень похоже на рассмотренное выше движение подвешенного на нити груза. Роль действующей на груз силы натяжения нити играет теперь сила нормальной реакции , направленная тоже по радиусу к центру окружности. А моменту, когда сила натяжения нити обращается в нуль, соответствует момент, когда тело отрывается от желоба.

? 13. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому наклонному желобу, переходящему в окружность радиусом r, и движется по окружности, не отрываясь от желоба. Обозначим _в силу нормальной реакции, действующую на шайбу в верхней точке окружности. Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в верхней и нижней точках окружности.
б) Объясните смысл следующих уравнений:

? 14. Чему равна минимальная высота H_min, с которой должна соскальзывать шайба, чтобы она могла совершить полный оборот?
Подсказка. В этом случае N_в обращается в нуль в верхней точке окружности.

Если начальная высота шайбы H меньше, чем Hmin, то в некоторой точке шайба оторвется от желоба. В этой точке сила нормальной реакции обращается в нуль.

? 15. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом r, и отрывается от желоба на высоте h (по отношению к нижней точке окружности). Скорость шайбы в этот момент обозначим v.
а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от желоба.
б) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

? 16. Небольшая шайба массой 50 г соскальзывает с некоторой высоты H по гладкому желобу, переходящему в окружность радиусом 30 см, и отрывается от желоба на высоте 40 см (по отношению к нижней точке окружности).
а) Чему равно H?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

З. Соскальзывание с полусферы

Пусть на вершине гладкой полусферы радиусом г, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба массой m (рис. ЗЗ.9). От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать.

Пока шайба скользит, действующая на нее сила нормальной реакции уменьшается. В некоторой точке она обратится в нуль – в этот момент шайба оторвется от полусферы (рис. 33.10) и начнет двигаться по параболе (красная пунктирная линия). Обозначим и скорость шайбы в момент отрыва от полусферы.

? 17. Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы, и направление скорости шайбы в этот момент. Обозначьте h высоту, на которой находится при этом шайба, а α – угол между радиусом, проведенный к шайбе и вертикалью. Используя этот чертеж:
а) объясните смысл уравнений

б) выразите h через r и α.
в) выразите h через r.

? 18. На вершине гладкой сферы лежит небольшая шайба массой m, соединенная нитью с грузом массой M (рис. 33.11). В начальный момент тела покоятся. Их отпускают без толчка. Шайба отрывается от полусферы, когда угол между радиусом, проведенным к шайбе, и вертикалью равен α. Обозначим и модуль скорости тел в момент отрыва.

а) Сделайте чертеж, на котором изобразите силы, действующие на шайбу в момент отрыва от полусферы.
Подсказка. В момент отрыва на шайбу действуют только сила тяжести и сила натяжения нити, направленная по касательной к окружности.
б) Насколько опустилась шайба и насколько опустился груз к моменту отрыва шайбы по сравнению с их начальным положением?
Подсказка. См. рисунок 33.12. Шайба опустилась на расстояние, отмеченное синим отрезком, а груз опустился на расстояние (зеленый отрезок), равное длине дуги, пройденной шайбой до отрыва (зеленый пунктир). Длина дуги равна rα (где α задано в радианах).

в) Используя этот чертеж, объясните смысл уравнений

Подсказка. Действующая на шайбу сила натяжения нити направлена по касательной к окружности. Поэтому центростремительное ускорение шайбе перед самым отрывом сообщает только составляющая действующей на шайбу силы тяжести, направленная по радиусу к центру окружности.
г) Чему равно отношение M/m, если α = π/6?

Дополнительные вопросы и задания

19. Какую скорость можно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он начал совершать колебания, если:
а) шарик подвешен на нити длиной l?
б) шарик подвешен на легком стрежне длиной l?
Подсказка. Шарик на нити не должен подняться выше точки подвеса, а шарик на стержне не должен достичь верхней точки окружности.

20. Небольшая шайба массой m соскальзывает с высоты H = 2r по гладкому желобу, переходящему в окружность с радиусом r.
а) На какой высоте h (по отношению к нижней точке окружности) шайба оторвется от желоба?
б) С какой силой шайба давит на желоб, когда она находится на одной горизонтали с центром окружности?

21. На гладкой полусфере радиуса r, укрепленной на столе, лежит небольшая шайба. Ей сообщают начальную горизонтальную скорость v0. На какой высоте h от стола шайба оторвется от полусферы?
Подсказка. Если начальная скорость достаточно велика, шайба оторвется от полусферы сразу.

22. На укрепленной на столе полусфере радиуса r лежит небольшая шайба массой m. От незначительного толчка шайба начинает соскальзывать. Вследствие трения за время, в течение которого шайба скользила по полусфере, выделилось количество теплоты Q.
а) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы?
б) На какой высоте h шайба оторвалась от полусферы, если выделившееся количество теплоты равно кинетической энергии шайбы в момент отрыва?

23. Впервые в мире круговой виток в вертикальной плоскости выполнил русский летчик П. Н. Нестеров в 1913 году. Эту фигуру высшего пилотажа называют мертвой петлей или петлей Нестерова. Нестеров так доверял своим расчетам, что перед выполнением мертвой петли не пристегнулся ремнями к креслу пилота. Расчет летчика оказался правильным: ремни не понадобились! Почему при выполнении мертвой петли летчик не выпадает из кресла пилота в верхней точке траектории?