Применение уравнения теплового баланса

1. Первый закон термодинамики и уравнение теплового баланса

До сих пор мы рассматривали первый закон термодинамики применительно к газам. Отличительной особенностью газа является то, что его объем может значительно изменяться. Поэтому согласно первому закону термодинамики переданное газу количество теплоты Q равно сумме совершенной газом работы и изменения его внутренней энергии:

Q = ∆U + A_г.

В этом параграфе мы рассмотрим случаи, когда некоторое количество теплоты сообщают жидкости или твердому телу. При нагревании или охлаждении они незначительно изменяются в объеме, поэтому совершенной ими при расширении работой обычно пренебрегают. Следовательно, для жидкостей и твердых тел первый закон термодинамики можно записать в виде

Q = ∆U.

Простота этого уравнения, однако, обманчива.

Дело в том, что внутренняя энергия тела представляет собой только суммарную кинетическую энергию хаотического движения составляющих его частиц лишь тогда, когда этим телом является идеальный газ. В таком случае, как мы уже знаем, внутренняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре (§ 42). В жидкостях же и в твердых телах большую роль играет потенциальная энергия взаимодействия частиц. А она, как показывает опыт, может изменяться даже при постоянной температуре!

Например, если передавать некоторое количество теплоты смеси воды со льдом, то ее температура будет оставаться постоянной (равной 0 ºС), пока весь лед не растает. (Именно по этой причине температуру таяния льда и приняли в свое время в качестве опорной точки при определении шкалы Цельсия.) При этом подводимое тепло расходуется на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул:чтобы превратить кристалл в жидкость, необходимо затратить энергию на разрушение кристаллической решетки.

Похожее явление происходит и при кипении: если передавать некоторое количество теплоты воде при температуре кипения, ее температура будет оставаться постоянной (равной 100 ºС при нормальном атмосферном давлении), пока вся вода не выкипит. (Потому ее и выбрали в качестве второй опорной точки для шкалы Цельсия.) В этом случае подводимое тепло также расходуется на увеличение потенциальной энергии взаимодействия молекул.

Может показаться странным, что потенциальная энергия взаимодействия молекул в паре больше, чем в воде. Ведь молекулы газа почти не взаимодействуют друг с другом, поэтому потенциальную энергию их взаимодействия естественно принять за нулевой уровень. Так и поступают. Но тогда потенциальную энергию взаимодействия молекул в жидкости надо считать отрицательной.

Такой знак потенциальной энергии взаимодействия характерен для притягивающихся тел. В таком случае, чтобы увеличить расстояние между телами, надо совершить работу, то есть увеличить потенциальную энергию их взаимодействия. И если после этого она становится равной нулю, значит, до этого она была отрицательной.

Итак, изменение состояния жидкостей и твердых тел при сообщении им некоторого количества теплоты надо рассматривать с учетом возможности изменения их агрегатного состояния. Изменения агрегатного состояния называют фазовыми переходами. Это – превращение твердого тела в жидкость (плавление), жидкости в твердое тело (отвердевание или кристаллизация), жидкости в пар (парообразование) и пара в жидкость (конденсация).

Закон сохранения энергии в тепловых явлениях, происходящих с жидкостями и твердыми телами, называют уравнением теплового баланса.
Рассмотрим сначала уравнение теплового баланса для случая, когда теплообмен происходит между двумя телами, а их теплообменом с другими телами можно пренебречь (на опыте для создания таких условий используют калориметры – сосуды, которые обеспечивают теплоизоляцию своего содержимого).

Будем считать (как мы считали ранее для газов) переданное телу количество теплоты положительным, если вследствие этого внутренняя энергия тела увеличивается, и отрицательным, если внутренняя энергия уменьшается. В таком случае уравнение теплового баланса имеет вид

Q₁ + Q₂ = 0,      (1)

где Q₁ – количество теплоты, переданное первому телу со стороны второго, а Q₂ – количество теплоты, переданное второму телу со стороны первого.

Из уравнения (1) видно, что если одно тело получает тепло, то другое тело его отдает. Скажем, если Q₁ > 0, то Q₂ < 0.

Если теплообмен происходит между n телами, уравнение теплового баланса имеет вид

Q₁ + Q₂ + … + Q_n = 0.

2. Уравнение теплового баланса без фазовых переходов

Будем считать тело однородным, то есть состоящим целиком из одного вещества (например, некоторая масса воды, стальной или медный брусок и т. д.). Рассмотрим сначала случай, когда агрегатное состояние тела не изменяется, то есть фазового перехода не происходит.

Из курса физики основной школы вы знаете, что в таком случае переданное телу количество теплоты Q прямо пропорционально массе тела m и изменению его температуры ∆t:

Q = cm∆t.     (2)

В этой формуле как Q, так и ∆t могут быть как положительными, так и отрицательными величинами.

Входящую в эту формулу величину с называют удельной теплоемкостью вещества, из которого состоит тело. Обычно в задачах на уравнение теплового баланса используют температуру по шкале Цельсия. Мы тоже будем так поступать.

? 1. На рисунке 48.1 приведены графики зависимости температуры двух тел от переданного им количества теплоты Q. Масса каждого тела 100 г.

а) У какого тела удельная теплоемкость больше и во сколько раз?
б) Чему равна удельная теплоемкость каждого тела?

? 2. В калориметр, содержащий 150 г воды при температуре 20 ºС, погружают вынутый из кипятка металлический цилиндр. Удельная теплоемкость воды равна 4,2 кДж/(кг * К). Примите, что тепловыми потерями можно пренебречь.
а) Объясните, почему справедливо уравнение

c_мm_м(t_к – 100º) + c_вm_в(t_к – 20º) = 0,

где c_м и c_в – значения теплоемкости данного металла и воды соответственно, m_м и m_в – значения массы цилиндра и воды соответственно, t_к – значение конечной температуры содержимого калориметра, когда в нем установится тепловое равновесие.

б) Какое из двух слагаемых в приведенной формуле положительно, а какое – отрицательно? Поясните ваш ответ.
в) Чему равна удельная теплоемкость данного металла, если масса цилиндра 100 г, а конечная температура равна 25 ºС?
г) Чему равна конечная температура, если цилиндр изготовлен из алюминия, а его масса 100 г? Удельная теплоемкость алюминия равна 0,92 кДж/(кг * К).
д) Чему равна масса цилиндра, если он изготовлен из меди и его конечная температура 27 ºС? Удельная теплоемкость меди 0,4 кДж/(кг * К).

Рассмотрим случай, когда механическая энергия переходит во внутреннюю. Английский физик Дж. Джоуль пытался измерить, насколько нагреется вода в водопаде при ударе о землю.

? 3. С какой высоты должна падать вода, чтобы при ударе о землю ее температура повысилась на 1 ºС? Примите, что во внутреннюю энергию воды переходит половина ее потенциальной энергии.

Полученный вами ответ объяснит, почему ученого постигла неудача. Примите во внимание, что опыты ученый ставил на родине, где высота самого высокого водопада – около 100 м.

Если тело нагревают с помощью электронагревателя или сжигая топливо, надо учитывать коэффициент полезного действия нагревателя. Например, если коэффициент полезного действия нагревателя равен 60 %, это означает, что увеличение внутренней энергии нагреваемого тела составляет 60 % от теплоты, выделившейся при сгорании топлива или при работе электронагревателя.

Напомним также, что при сгорании топлива массой m выделяется количество теплоты Q, которое выражается формулой

Q = qm,

где q – удельная теплота сгорания.

? 4. Чтобы довести 3 л воды в котелке от температуры 20 ºС до кипения, туристам пришлось сжечь в костре 3 кг сухого хвороста. Чему равен коэффициент полезного действия костра как нагревательного прибора? Удельную теплоту сгорания хвороста примите равной 107 Дж/кг.

? 5. С помощью электронагревателя пытаются довести до кипения 10 л воды, но вода не закипает: при включенном нагревателе ее температура остается постоянной, ниже 100 ºС. Мощность нагревателя 500 Вт, коэффициент полезного действия 90 %.
а) Какое количество теплоты передается за 1 с воде от нагревателя?
б) Какое количество теплоты передается за 1 с от воды окружающему воздуху при включенном нагревателе, когда температура воды остается постоянной?
в) Какое количество теплоты передаст вода за 1 мин окружающему воздуху сразу после выключения нагревателя? Считайте, что за это время температура воды существенно не изменится.
г) Насколько понизится температура воды за 1 мин сразу после выключения нагревателя?

3. Уравнение теплового баланса при наличии фазовых переходов

Напомним некоторые факты, известные вам из курса физики основной школы.

Для того чтобы полностью расплавить кристаллическое твердое тело при его температуре плавления, надо сообщить ему количество теплоты Q, пропорциональное массе m тела:

Q = λm.

Коэффициент пропорциональности λ называют удельной теплотой плавления. Она численно равна количеству теплоты, которое надо сообщить кристаллическому телу массой 1 кг при температуре плавления, чтобы полностью превратить его в жидкость. Единицей удельной теплоты плавления является 1 Дж/кг (джоуль на килограмм).

Например, удельная теплота плавления льда равна 330 кДж/кг.

? 6. На какую высоту можно было бы поднять человека массой 60 кг, если увеличить его потенциальную энергию на величину, численно равную количеству теплоты, которая нужна для того, чтобы расплавить 1 кг льда при температуре 0 ºС?

При решении задач важно учитывать, что твердое тело начнет плавиться только после того, как оно все нагреется до температуры плавления. На графике зависимости температуры тела от переданного ему количества теплоты процесс плавления представляет собой горизонтальный отрезок.

? 7. На рисунке 48.2 изображен график зависимости температуры тела массой 1 кг от переданного ему количества теплоты.

а) Какова удельная теплоемкость тела в твердом состоянии?
б) Чему равна температура плавления?
в) Чему равна удельная теплота плавления?
г) Какова удельная теплоемкость тела в жидком состоянии?
д) Из какого вещества может состоять данное тело?

? 8. В атмосферу Земли влетает железный метеорит. Удельная теплоемкость железа равна 460 Дж/(кг * К), температура плавления 1540 ºС, удельная теплота плавления 270 кДж/кг. Начальную температуру метеорита до входа в атмосферу примите равной -260 ºС. Примите, что 80 % кинетической энергии метеорита при движении сквозь атмосферу переходит в его внутреннюю энергию.
а) Какова должна быть минимальная начальная скорость метеорита, чтобы он нагрелся до температуры плавления?
б) Какая часть метеорита расплавится, если его начальная скорость равна 1,6 км/с?

Если при наличии фазовых переходов требуется найти коечную температуру тел, то прежде всего надо выяснить, каким будет конечное состояние. Например, если в начальном состоянии заданы массы льда и воды и значения их температур, то есть три возможности.

В конечном состоянии только лед (такое может быть, если начальная температура льда была достаточно низкой или масса льда была достаточно большой). В таком случае неизвестной величиной является конечная температура льда. Если задача решена правильно, то полученное значение не превышает 0 ºС. При установлении теплового равновесия лед нагревается до этой конечной температуры, а вся вода охлаждается до 0 ºС, затем замерзает, и образовавшийся из нее лед охлаждается до конечной температуры (если она ниже 0 ºС).

В конечном состоянии находятся в тепловом равновесии лед и вода. Такое возможно только при температуре 0 ºС. Неизвестной величиной в таком случае будет конечная масса льда (или конечная масса воды: сумма масс воды и льда дана). Если задача решена правильно, то конечные массы льда и воды положительны. В таком случае при установлении теплового равновесия сначала лед нагревается до 0 ºС, а вода охлаждается до 0 ºС. Затем либо часть льда тает, либо часть воды замерзает.

В конечном состоянии только вода. Тогда неизвестной величиной является ее температура (она должна быть не ниже 0 ºС), В этом случае вода охлаждается до конечной температуры, а льду приходится пройти более сложный путь: сначала он весь нагревается до 0 ºС, затем весь тает, а потом образовавшаяся из него вода нагревается до конечной температуры.

Чтобы определить, какая из этих возможностей реализуется в той или иной задаче, надо провести небольшое исследование.

? 9. В калориметр, содержащий 1,5 л воды при температуре 20 ºС, кладут кусок льда при температуре –10 ºС. Примите, что тепловыми потерями можно пренебречь. Удельная теплоемкость льда 2,1 кДж/(кг * К).
а) Какова могла быть масса льда, если в конечном состоянии в калориметре находится только лед? только вода? лед и вода в тепловом равновесии?
б) Чему равна конечная температура, если начальная масса льда 40 кг?
в) Чему равна конечная температура, если начальная масса льда 200 г?
г) Чему равна конечная масса воды, если начальная масса льда равна 1 кг?

То, что для плавления телу надо сообщить некоторое количество теплоты, кажется естественным. Это явление служит нам добрую службу: оно замедляет таяние снега, уменьшая паводки весной.

А вот то, что при кристаллизации тело отдает некоторое количество теплоты, может удивить: неужели вода при замерзании действительно отдает некоторое количество теплоты? И тем не менее это так: замерзая и превращаясь в лед, вода отдает довольно большое количество теплоты холодному воздуху или льду, температура которых ниже 0 ºС. Это явление тоже служит нам добрую службу, смягчая первые заморозки и наступление зимы.
Учтем теперь возможность превращения жидкости в пар или пара в жидкость.

Как вы знаете из курса физики основной школы, количество теплоты Q, необходимое для того, чтобы превратить жидкость в пар при постоянной температуре, пропорционально массе m жидкости:

Q = Lm.

Коэффициент пропорциональности L называют удельной теплотой парообразования. Она численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить 1 кг жидкости, чтобы полностью превратить ее в пар. Единицей удельной теплоты парообразования является 1 Дж/кг.

Например, удельная теплота парообразования воды при температуре кипения и нормальном атмосферном давлении авиа примерно 2300 кДж/кг.

? 10. В калориметр, в котором находится 1 л воды при температуре 20 ºС, вводят 100 г водяного пара при температуре 100 ºС. Чему будет равна температура в калориметре после установления теплового равновесия? Тепловыми потерями можно пренебречь.

Дополнительные вопросы и задания

11. Чтобы нагреть на плите некоторую массу воды от 20 ºС до температуры кипения, потребовалось 6 мин. Сколько времени потребуется, чтобы вся эта вода выкипела? Примите, что потерями тепла можно пренебречь.

12. В калориметр, содержащий лед массой 100 г при температуре 0 ºС, впускают пар при температуре 100 ºС. Чему будет равна масса воды в калориметре, когда весь лед растает и температура воды будет равна 0 ºС?

13. Нагретый алюминиевый куб положили на плоскую льдину, температура которой 0 ºС. До какой температуры был нагрет куб, если он полностью погрузился в лед? Примите, что потерями тепла можно пренебречь. Удельная теплоемкость алюминия 0,92 кДж/(кг * К).

14. Свинцовая пуля ударяется о стальную плиту и отскакивает от нее. Температура пули до удара равна 50 ºС, скорость 400 м/с. Скорость пули после удара равна 100 м/с. Какая часть пули расплавилась, если во внутреннюю энергию пули перешло 60 % потерянной кинетической энергии? Удельная теплоемкость свинца 0,13 кДж/(кг * К), температура плавления 327 ºС, удельная теплота плавления 25 кДж/кг.

15. В калориметр, в котором содержится 1 л воды при температуре 20 ºС, кладут 100 г мокрого снега, содержание воды в котором (по массе) составляет 60 %. Какая температура установится в калориметре после установления теплового равновесия? Тепловыми потерями можно пренебречь.
Подсказка. Под мокрым снегом подразумевают смесь воды и льда при температуре 0 ºС.