Применение закона Кулона и принципа суперпозиции полей

1. Равновесие зарядов

Во многих задачах рассматривают равновесие небольших заряженных тел. На то, что их можно рассматривать как точечные заряди, указывают обычно такие слова в условии задачи: «небольшие тела», «шарики» (а не шары!), «бусинка» и т. д.

Равновесие двух зарядов

? 1. Рассмотрим случай, когда шарики подвешены так, как показано на рисунке 55.1. Массы шариков m₁ и m₂, их заряды q₁ и q₂. Длина нити 2 равна l.

а) Изобразите на чертеже силы, действующие на каждый шарик в случае, когда они заряжены одноименно и разноименно.
б) Зависит ли сила натяжения нити 1 от зарядов шариков?
в) В каком случае сила натяжения нити 2 больше m2g: когда шарики заряжены одноименно или разноименно?

Пусть в одной точке на нитях одинаковой длины подвешены два шарика равной массы m с положительными зарядами q₁ и q₂ (рис. 55.2).

Рассмотрим, при каком условии шарики будут находиться в равновесии в воздухе и в диэлектрике.

Обозначим массу каждого шарика m, а длину нити l. Угол между нитями обозначим 2α (это удобнее при расчетах). Расстояние между шариками, находящимися в равновесии, обозначим r.

Пусть сначала шарики находятся в вакууме (или в воздухе).

? 2. Одинаковы ли углы отклонения нитей от вертикали?

? 3. Изобразите на чертеже все силы, действующие на один из шариков.

? 4. Выразите отношение модуля силы электрического отталкивания шариков F_э к силе тяжести F_т через угол α.
Подсказка. Равнодействующая сил, приложенных к любому шарику, равна нулю, когда он находится в равновесии.

? 5. Выразите r через l и α.

? 6. Выразите q₁ через q₂, l, m, α.

Если погрузить шарики в непроводящую жидкость, возникает сразу два новых физических явления:
– сила взаимодействия шариков на том же расстоянии между ними уменьшится вследствие поляризации жидкости;
– на шарики будет действовать сила Архимеда.

Рассмотрим сначала качественно влияние каждого из этих явлений по отдельности.

? 7. Как изменится расчетное значение угла между нитями при погружении шариков в диэлектрик, если:
а) учесть только изменение силы взаимодействия шариков?
б) учесть только силу Архимеда?

Ответы на это задание показывают, что одно из этих явлений приводит к уменьшению угла между нитями, а другое – к увеличению.

? 8. Обозначим плотность шарика и жидкости ρш и ρж соответственно. При каком соотношении между ε, ρш и ρж угол между нитями не изменится после погружения шариков в диэлектрик?

Равновесие нескольких зарядов

Пусть четыре одинаковых положительных точечных заряда q расположены в вершинах квадрата со стороной d (рис. 55.3). Если они не закреплены, то они не могут находиться в равновесии, потому что все эти заряды отталкиваются друг от друга.

? 9. Поместим в центр квадрата еще один заряд Q.
а) Будет ли заряд Q находиться в равновесии, если заряды q в углах квадрата закреплены? Зависит ли это от знака и модуля заряда Q?
б) При каком знаке заряда Q заряды q в углах квадрата могут находиться в равновесии, если они не закреплены?
в) Чему равна и как направлена равнодействующая сил, приложенных к одному из зарядов q со стороны двух ближайших к нему зарядов q?
г) Чему равна и как направлена сила, действующая на один из зарядов q со стороны наиболее удаленного от него заряда q?
д) Чему равна и как направлена равнодействующая сил, приложенных к одному из зарядов q со стороны всех остальных зарядов q?
е) Чему равна и как направлена сила, действующая на один из зарядов q со стороны заряда Q, расположенного в центре квадрата?
ж) При каком соотношении между зарядами q и Q все заряды будут находиться в равновесии? Изменится ли это соотношение, если сторону квадрата увеличить в 2 раза?

Отметим, что равновесие зарядов будет неустойчивым. Это – частное проявление общей закономерности: любая система электрических зарядов не может находиться в положении устойчивого равновесия под действием только электрических сил. (Доказательство этого факта выходит за рамки нашего курса.)

Но если на заряженные тела действуют и другие силы, то равновесие тел может быть устойчивым. Например, устойчивым является равновесие двух подвешенных на нитях шариков, рассмотренное ранее в этом параграфе, потому что на каждый заряженный шарик, кроме сил электрического взаимодействия, действуют еще сила тяжести и сила натяжения нити.

Рассмотрим случай, когда несколько зарядов могут находиться в положении устойчивого равновесия.

? 10. Четыре одинаковых заряда q находятся в вершинах квадрата со стороной d и удерживаются связывающими их нитями (рис. 55.4). Обозначим модуль силы натяжения нити T.

а) Чему равна и как направлена равнодействующая сил, приложенных к одному из зарядов со стороны остальных трех зарядов?
б) Чему равна и как направлена равнодействующая сил натяжения нитей, приложенных к одному из зарядов?
в) Выразите T через q и d.
г) Чему равна сила натяжения нити, если известно, что ближайшие два заряда отталкиваются с силой 2 мН?

2. Поле, создаваемое системой зарядов

? 11. Два положительных точечных заряда q находятся на расстоянии 2b друг от друга (рис. 55.5).

а) Как направлена напряженность поля в точке A, равноудаленной от зарядов?
б) Выразите напряженность поля, создаваемого одним из зарядов q в точке A, через q, b и h.
в) Выразите напряженность поля, создаваемого обоими зарядами в точке A, через q, b и h.
г) Найдите без дополнительных вычислений напряженность поля, создаваемого n одинаковыми зарядами q, расположенными в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса b, в точке A (рис. 55.6).

д) Найдите без дополнительных вычислений напряженность поля, создаваемого равномерно заряженным кольцом радиуса b в точке A, если заряд кольца равен Q (рис. 55.7).

? 12. Три одинаковых положительных заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a.
а) Чему равна напряженность поля, создаваемого одним из этих зарядов в точке A, расположенной на расстоянии a от каждого заряда?
б) Чему равна напряженность поля, создаваемого всеми тремя зарядами в указанной точке?
Подсказка. Для ответа на этот вопрос найдите расстояние от точки A до плоскости, в которой лежат заряды.

Дополнительные вопросы и задания

13. Три шарика массой m каждый с одинаковыми зарядами q подвешены в одной точке на нитях длиной l и находятся в равновесии, когда расстояние между любыми двумя шариками равно a. Длина нити намного больше расстояния между шариками.
а) Выразите равнодействующую сил, приложенных к одному шарику со стороны двух других, через q и a.
б) Выразите расстояние от любого шарика до центра равностороннего треугольника, в вершинах которого расположены шарики, через a.
в) Выразите равнодействующую силы тяжести и силы натяжения нити, приложенных к одному шарику, через m, l и a.
Подсказка. Воспользуйтесь тем, что для малых углов синусы и тангенсы углов приближенно равны.
г) Выразите заряды шариков через m, l и a.
д) Найдите заряды шариков, если m = 4 г, l = 1 м, a = 5 см.

14. Три одинаковых заряда q расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q надо поместить в центр этого треугольника, чтобы все четыре заряда находились в равновесии? Будет ли это равновесие устойчивым?

15. Два разноименных точечных заряда q находятся на расстоянии 2b друг от друга (рис. 55.8).