Работа электрического поля. Разность потенциалов (напряжение)

1. Работа поля при перемещении заряда

В этой главе мы рассматриваем электрическое поле, созданное покоящимися электрическими зарядами. Такое поле называют электростатическим. (В курсе физики 11-го класса мы рассмотрим также вихревое электрическое поле, которое порождается не электрическими зарядами, а изменяющимся магнитным полем. Для вихревого электрического поля нельзя ввести понятие разности потенциалов, которое рассматривается в этом параграфе.)

На заряд q, находящийся в электростатическом поле, действует сила

= q,

где – напряженность электрического поля в той точке, где находится заряд.

При перемещении заряда эта сила может совершать работу, которую часто называют работой поля. Она может быть положительной, отрицательной, а также равной нулю.

? 1. На рисунке 53.1 изображены линии напряженности однородного электростатического поля. Модуль напряженности поля 100 Н/Кл. Точки А, В, С, D расположены в вершинах квадрата со стороной 10 см. В этом поле перемещают точечный положительный заряд 10 нКл.

Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда по прямой:
а) из A в B? б) из B в C? в) из C в D? г) из D в A? д) из A в C? е) из B в D?
ж) Как изменится работа поля при любом перемещении заряда, если модуль заряда увеличить в 3 раза?
з) Какую работу совершит электрическое поле при перемещении заряда по замкнутому контуру вдоль всех четырех сторон квадрата? Имеет ли при этом значение, в какой вершине квадрата заряд находился в начальный момент? Имеет ли значение, в каком направлении перемещался заряд – по часовой стрелке или против?

На примере этого задания вы могли заметить, что работа электростатического поля при перемещении заряда из одной точки в другую зависит только от положения начальной и конечной точек и не зависит от траектории движения заряда.

Работа электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Оказывается, что этими важнейшими свойствами обладает любое электростатическое поле, то есть поле, созданное любыми покоящимися электрическими зарядами.

Например, при перемещении электрического заряда из точки 1 в точку 2 по траекториям а и б (рис. 53.2) электростатическое поле совершает одинаковую работу.

2. Разность потенциалов (напряжение)

Вспомним, что работа силы тяготения и силы упругости по перемещению тела также зависит только от начального и конечного положения тела и не зависит от траектории его движения. Это позволило ввести понятие потенциальной энергии для системы тел, взаимодействующих посредством сил тяготения и упругости.

Поскольку работа электростатического поля по перемещению заряда тоже зависит только от начального и конечного положения заряда, для заряда в электростатическом поле тоже можно ввести понятие потенциальной энергии.

Обозначим потенциальную энергию заряда Wp. Как вы уже знаете, изменение потенциальной энергии равно работе, совершаемой телом или системой тел, взятой со знаком минус. Поэтому если заряд переместился из точки 1 в точку 2, то

W_p2 – W_p1 = –A₁₂,

где A₁₂ – работа, совершенная полем по перемещению заряда из точки 1 в точку 2.

Перепишем эту формулу так:

W_p1 – W_p2 = A₁₂.     (1)

Отсюда видно, что при перемещении заряда из точки 1 в точку 2:
– если поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряда уменьшается;
– если поле совершает отрицательную работу (например, когда сила направлена противоположно перемещению), то потенциальная энергия заряда увеличивается;
– если работа поля равна нулю (например, сила перпендикулярна перемещению), то потенциальная энергия заряда не изменяется.

? 2. На рисунке 53.3 изображены линии напряженности электростатического поля и отмечено несколько точек. В начальный момент положительный заряд находится в точке А.

При перемещении заряда в какие из отмеченных точек его потенциальная энергия:
а) уменьшается;
б) увеличивается;
в) остается неизменной?
г) Как изменяется потенциальная энергия отрицательного заряда при перемещении его из точки A в точку: B; C; D; E; F; G; H; K?

Работа поля и потенциальная энергия заряда в электростатическом поле пропорциональны величине заряда (так как сила, действующая на заряд, пропорциональна величине заряда). Отсюда следует, что отношение потенциальной энергии заряда в электростатическом поле к величине заряда не зависит от заряда и поэтому характеризует само поле.

Отношение потенциальной энергии заряда в данной точке поля к величине этого заряда называют потенциалом электростатического поля φ в этой точке:

φ = W_p/q. (2)

Из формул (1) и (2) следует, что

разность потенциалов между точками 1 и 2 равна отношению работы поля A₁₂ по перемещению заряда из точки 1 в точку 2 к величине заряда:

φ₁ – φ₂ = A₁₂/q.     (3)

Разность потенциалов между точками 1 и 2 численно равна работе электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

Разность потенциалов называют также напряжением и обозначают U. В дальнейшем мы будем использовать как термин разность потенциалов, так и термин напряжение.

Когда говорят о «потенциале поля в некоторой точке», под этим всегда понимают разность потенциалов между этой точкой и точкой, потенциал поля в которой приняли равным нулю.

Выбор такой точки определяется только соображениями удобства: он не влияет на значение разности потенциалов поля между любыми двумя точками.

Единица разности потенциалов (напряжения). Единицей напряжения является 1 вольт (сокращенно В). Эта единица названа в честь итальянского ученого Алессандро Вольта, который создал первый химический источник постоянного электрического тока.

Если разность потенциалов между двумя точками равна 1 В, то при перемещении положительного заряда в 1 Кл из одной точки в другую электрическое поле совершает работу 1 Дж. Следовательно,

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

? 3. Чему равна разность потенциалов между точками 1 и 2, если при перемещении заряда 10 нКл из точки 1 в точку 2 электростатическое поле совершило работу 10^-6 Дж?

? 4. Отрицательный заряд q перемещают из точки с более высоким потенциалом в точку с более низким потенциалом.
а) Какую работу совершает при этом поле: положительную или отрицательную?
б) Чему равна работа поля, если q = -50 нКл, потенциал начальной точки равен 300 В, а конечной точки – равен 100 В?

? 5. Слова напряжение и напряженность очень похожи. Чтобы осознать различия между физическими величинами, которые обозначаются этими словами, ответьте на следующие вопросы и обоснуйте свои ответы.
а) Какая из этих величин – векторная, а какая – скалярная?
б) О какой из этих величин можно говорить применительно только к одной точке пространства, а о какой – применительно только к двум точкам?
в) Какая из этих величин является силовой характеристикой электрического поля, а какая – энергетической?

? 6. Вернемся к заданию 1 (см. рис. 53.1). Чему равна разность потенциалов между точками:
а) А и В; б) В и С; в) С и D; г) D и А; д) А и С; е) В и D?

3. Соотношение между напряжением и напряженностью для однородного поля

Пусть положительный заряд q перемещают в однородном электростатическом поле напряженностью в направлении линий напряженности на расстояние d (рис. 53.4).

На заряд со стороны поля действует сила qe_vec, направление которой совпадает с направлением перемещения. Поэтому при перемещении на расстояние d поле совершает работу A = qEd.

Напряжение связано с работой соотношением U = A/q.

Следовательно,

U = Ed.      (4)

Соотношение между напряженностью однородного поля и напряжением можно записать также в виде

E = U/d     (5)

Из уравнения (5) следует, что единицу напряженности поля можно определить также как 1 вольт на метр (сокращенно В/м). 1 В/м – это напряженность поля, в котором разность потенциалов между точками, расположенными на одной линии напряженности на расстоянии 1 м друг от друга, равна 1 В.

? 7. Объясните, почему

1 В/м = 1 Н/Кл.

? 8. Вблизи поверхности Земли напряженность поля, созданного зарядом Земли, составляет 130 В/м.
а) Чему равно напряжение между точкой, находящейся на уровне головы стоящего человека, и точкой, находящейся на уровне его ног? Рост человека примите равным 170 см.
б) Почему это напряжение безопасно для человека?

4. Эквипотенциальные поверхности

Если работа поля по перемещению заряда из одной точки в другую равна нулю, то равна нулю и разность потенциалов между этими точками. Можно сказать также, что потенциалы этих точек равны.

? 9. На рисунках 53.5 и 53.6 изображены линии напряженности однородного электростатического поля и поля точечного заряда. Объясните, почему потенциалы точек, лежащих на одной н той же пунктирной линии, равны.

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что работа силы равна нулю, если сила перпендикулярна перемещению.

Поверхность, все точки которой имеют равный потенциал, называют эквипотенциальной поверхностью. (От латинского слова «эквус» – равный.)

? 10. Объясните, почему поверхность любого проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной, если заряды в проводнике находятся в равновесии.

? 11. Объясните, почему все точки проводника (а не только его поверхность!) имеют одинаковый потенциал.

5. Энергия заряженного тела в электростатическом поле

Если на тело действуют только потенциальные силы, то согласно закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергий этого тела остается неизменной. Рассмотрим случай, когда на заряд действует сила со стороны электростатического поля.

? 12. Электрон движется в однородном поле с напряженностью 100 В/м. Как изменились его потенциальная и кинетическая энергия, если он переместился на 0,5 м:
а) в направлении линии напряженности поля?
б) противоположно линии напряженности поля?

Дополнительные вопросы и задания

13. Объясните, почему линии напряженности электростатического поля не могут иметь вид, показанный на рисунке 53.7.

14. Как должна двигаться заряженная частица в однородном электростатическом поле, чтобы ее траектория была прямолинейной? Может ли кинетическая энергия частицы оставаться при этом неизменной?

15. Может ли заряженная частица равномерно двигаться по окружности:
а) в однородном электростатическом поле?
б) в электрическом поле точечного заряда?
(Излучение заряженной частицы при движении с ускорением в этой главе не учитывается.)

16. Заряженная частица массой m, заряд которой равен по модулю q, влетает в однородное электростатическое поле со скоростью v0, направленной перпендикулярно линиям напряженности поля. Модуль напряженности поля E.
а) Какова форма траектории движения частицы?
б) Как изменяется потенциальная энергия частицы: увеличивается, уменьшается или остается постоянной?
в) Как изменяется кинетическая энергия частицы?
г) Чему равна работа поля по перемещению частицы к тому моменту, когда ее кинетическая энергия возрастает в 2 раза по сравнению с начальной кинетической энергией?
д) Чему будет равна в этот момент скорость частицы?
е) На какое расстояние d сместится к этому моменту частица вдоль линий напряженности поля?
ж) Имеет ли значение знак заряда частицы для ответов на предыдущие вопросы?

17. Электрон влетел в однородное электростатическое поле со скоростью 30 км/с, направленной вертикально вверх. Через 2 * 10^-8 с после этого скорость электрона изменила направление на противоположное.
а) Как направлена напряженность поля?
б) Чему равен модуль напряженности поля?