Кинетическая энергия

Из первых параграфов этой главы следует, что если суммарная работа сил, действующих на тело, положительна, то скорость тела относительно инерциальной системы отсчета увеличивается. Напротив, если эта работа отрицательна, то скорость тела уменьшается. Таким образом, изменение скорости движения тела и работа, совершенная над этим телом, связаны. Найдем эту связь.

Пусть на гладкой горизонтальной плоскости в точке с координатой x₀ = 0 (рис. 124) покоится брусок массой m, к которому прикреплена нить. В момент времени t = 0 эту нить начинают тянуть с постоянной силой в положительном направлении оси X инерциальной системы отсчета. В результате со стороны нити на брусок будет действовать сила упругости нити F. Согласно второму закону Ньютона брусок начнет двигаться равноускоренно в положительном направлении оси X. Поскольку начальные координата и скорость бруска были равны нулю, изменение координаты бруска за время t будет равно

Δx = x - x₀ = (a · t²) / 2.

Сила F к этому моменту времени совершит положительную работу

A = F · Δx = (m · a) · (a · t²)/2 = (m(a · t)²)/2 = (m · v²)/2.

Записывая последнее равенство, мы воспользовались известным из кинематики соотношением v = a · t (закон изменения скорости при равноускоренном движении), справедливым в рассматриваемом случае.

Подведем первый итог. Мы знаем, что действие на точечное тело нескольких сил неотличимо от действия одной силы, которая равна их сумме. Таким образом, если тело первоначально покоилось, то работа A суммы всех действующих на тело сил равна половине произведения массы тела на квадрат его конечной скорости.

Физическую величину (m · v²) / 2 называют кинетической энергией точечного тела массой m, движущегося в инерциальной системе отсчета со скоростью v.

Название «кинетическая» происходит от греческого слова «кинетис» - «движение».

Кинетическая энергия тела определяется скоростью его движения и массой. Она равна работе, которую надо совершить над телом для его разгона из состояния покоя до скорости с в инерциальной системе отсчета.

Чем большая работа совершена над телом при его разгоне, тем большей будет его кинетическая энергия.

Из выражения для кинетической энергии видно, что чем больше масса тела, тем большую работу надо совершить, чтобы разогнать его из состояния покоя до заданной скорости в выбранной ИСО.

Кинетическая энергия, как и работа, в СИ измеряется в джоулях.

Будем обозначать кинетическую энергию тела буквой K.

Кинетическая энергия точечного тела массой m равна K = (m · v²) / 2 в той инерциальной системе отсчета, относительно которой это тело движется со скоростью v.

Вернемся к рассмотренному примеру с бруском. Начальная скорость бруска равнялась нулю. Следовательно, его начальная кинетическая энергия K0 = (m · v₀²) / 2 = 0. При этом конечная кинетическая энергия бруска после приобретения им скорости v в результате совершения над телом механической работы равна Kк = (m · v²) / 2. Поэтому 0 + A = (m · v²) / 2.

Таким образом, если к начальной нулевой кинетической энергии тела K0 прибавить совершенную над телом суммарную работу A всех действовавших на него сил, то получится конечная кинетическая энергия K этого тела (рис. 125):

K₀ + A = K_к.

Можно показать, что это соотношение будет выполняться и в том случае, если начальная кинетическая энергия тела отлична от нуля. Например, при свободном падении тела вниз сила тяжести совершает над ним положительную работу. Скорость тела растет. Растет и его кинетическая энергия.

Если работа, совершаемая над телом, будет отрицательной, то кинетическая энергия тела будет уменьшаться, т. е. тело будет тормозиться. (Это будет продолжаться до тех пор, пока тело не остановится.) Например, при подъеме тела сила тяжести совершает отрицательную работу и тормозит его. Поэтому кинетическая энергия поднимающегося тела будет уменьшаться до тех пор, пока тело не достигнет верхней точки подъема.

В случае если отрицательная работа, совершенная над телом, по модулю будет равна его начальной кинетической энергии, то конечная кинетическая энергия тела станет равна нулю, т. е. тело остановится (полностью затормозится). При этом само тело совершит над тормозящим его движение объектом положительную работу.

Эта ситуация показана на рис. 126: движущийся грузовик сталкивается с остановившимся перед светофором легковым автомобилем. В результате удара легковой автомобиль начинает двигаться со скоростью v_л.

Тело массой m, движущееся со скоростью v в ИСО, за счет уменьшения скорости до нуля может совершить над другими телами положительную работу, равную его кинетической энергии (m · v²) / 2.

Таким образом, кинетическая энергия тела массой m, во-первых, равна работе, которую нужно было совершить над этим первоначально покоившимся в ИСО точечным телом, чтобы оно стало двигаться со скоростью v. Кинетическая энергия тела, во-вторых, равна работе, которую это тело может совершить в ИСО над другими телами за счет уменьшения своей скорости до нуля.

При определении кинетической энергии тела необходимо всегда помнить следующее. Вы знаете, что скорость тела определяется тем, в какой системе отсчета рассматривается движение этого тела. Поэтому кинетическая энергия данного тела будет зависеть от того, в какой инерциальной системе мы ее вычисляем. Значит, говоря, что кинетическая энергия тела имеет такое-то значение, необходимо указывать, в какой инерциальной системе отсчета она вычислялась. Наконец, отметим, что полученные выражения справедливы только в инерциальных системах отсчета, так как при их выводе мы пользовались вторым законом Ньютона.

Получим выражение для расчета кинетической энергии системы тел. Для этого рассмотрим простейший случай. Пусть наша система состоит из двух тел. Если первое тело массой m₁ движется со скоростью v₂, а второе тело массой m₂ – со скоростью v₂ в той же ИСО, то эти тела обладают кинетическими энергиями K₁ = (m₁ · v₁²) / 2 и K₂ = (m₂ · v₂²) / 2. При полном торможении эти тела совершат над затормозившими их объектами суммарную работу A = K₁ + K₂. Поэтому кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий этих тел. Отметим, что при увеличении кинетической энергии системы тел действующие на эти тела объекты совершают положительную работу, равную изменению кинетической энергии системы тел.

Итоги

Кинетической энергией точечного тела массой m, движущегося в инерциальной системе отсчета со скоростью v, называют физическую величину

K = (m · v²) / 2.

Кинетическая энергия тела определяется скоростью его движения и массой. Она равна работе, которую надо совершить над телом для его разгона из состояния покоя в инерциальной системе отсчета до скорости v.

Если над телом, имеющим в данной ИСО кинетическую энергию K₀, совершена работа A, то конечная кинетическая энергия тела K_к = K₀ + A.

При A > 0 кинетическая энергия тела увеличивается (тело разгоняется), при A = 0 она остается неизменной (тело движется с постоянной скоростью), при A

Тело массой m, движущееся со скоростью v в ИСО, за счет уменьшения своей скорости до нуля может совершить положительную работу, равную его кинетической энергии (m · v²) / 2.

Кинетическая энергия данного тела зависит от того, в какой инерциальной системе ее вычисляют.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических, энергий этих тел.

Вопросы

1. Сформулируйте определение кинетической энергии. Может ли кинетическая энергия быть отрицательной? Ответ обоснуйте.
2. Какое название носит единица кинетической энергии в СИ?
3. Какую работу надо совершить над телом массой m, чтобы из состояния покоя разогнать его до скорости v?
4. Как изменяется кинетическая энергия тела, если работа суммы всех действующих на него сил положительна, отрицательна, равна нулю?
5. Какую работу может совершить движущееся в ИСО со скоростью v тело массой m за счет уменьшения своей скорости до нуля?
6. Известно, что парашютист через некоторое время после раскрытия парашюта движется вниз с постоянной скоростью. Сформулируйте гипотезу о соотношении при таком движении работы силы тяжести и работы силы сопротивления воздуха, совершаемых над системой тел «парашют – парашютист». Докажите эту гипотезу.

Упражнения

1. Определите работу, которую надо совершить над телом массой m = 3 кг, чтобы из состояния покоя разогнать его до скорости v = 2 м/с в ИСО.
2. Определите работу, которую надо совершить над телом массой m = 10 кг, движущимся относительно Земли со скоростью, модуль которой равен 20 м/с, чтобы полностью затормозить его.
3. Чему равна кинетическая энергия стоящего на дороге автомобиля массой m = 1 т в системе отсчета, связанной: а) с дорогой; б) с автобусом, едущим по дороге со скоростью 20 м/с?
4. Вычислите кинетическую энергию свободно падающего с высоты h = 80 м камня массой m = 5 кг в момент его удара о Землю. Найдите скорость камня в этот момент времени.
5. Определите начальную кинетическую энергию грузового автомобиля, который под действием постоянной силы трения проходит до полной остановки тормозной путь 40 м. Модуль силы трения равен 25 кН. Найдите начальную скорость автомобиля, если его масса равна m = 5 т.
6. Вычислите скорость пули массой m = 10 г, вылетающей из ствола снайперской винтовки длиной L = 1 м под действием постоянной силы со стороны пороховых газов, если ее модуль равен 5 кН. Винтовку во время выстрела удерживали неподвижной.
7. Определите (через изменение кинетической энергии) работу силы тяжести при свободном падении камня массой m = 2 кг за промежуток времени, в течение которого его скорость изменялась от v₀ = 0 до v_к = 30 м/с.
8. Кинетическая энергия системы из двух тел первоначально была равна K₀ =100 Дж в системе отсчета, связанной с Землей. Над телами этой системы совершили отрицательную работу A = -80 Дж. В результате первое тело этой системы массой m1 = 20 кг остановилось. С какой по модулю скоростью относительно Земли будет двигаться второе тело массой m₂ = 10 кг после совершения указанной работы?