Движение системы связанных тел без учета трения

1. Движение тел в одном направлении

Пусть по гладкому столу под действием горизонтальной силы движутся бруски массой m₁ и m₂ связанные легкой нерастяжимой нитью (рис. 22.1).

? 1. Используя рисунок 22.1, объясните смысл следующих уравнений:

Указание на то, что нить легкая, означает, что массой нити можно пренебречь. В таком случае равнодействующую приложенных к нити сил надо считать равной нулю (иначе нить получила бы бесконечно большое ускорение). Значит, бруски тянут нить в противоположные стороны с равными по модулю силами. Тогда из третьего закона Ньютона следует, что нить действует на бруски тоже с равными по модулю силами:

T₂ = T₁.

Обозначим T модуль силы натяжения нити:

T₂ = T₁ = T.

Поскольку нить нерастяжима, модули перемещения брусков за любой промежуток времени одинаковы. Отсюда следует, что ускорения брусков равны. Обозначим модуль этого ускорения a:

a₁ = a₂ = a.

? 2. Используя рисунок 22.1, объясните смысл следующих уравнений:

? 3. Объясните, почему бруски, связанные легкой нерастяжимой нитью, движутся под действием силы с таким же ускорением, как одно тело массой m₁ + m₂. Чему равно это ускорение?

? 4. На гладком столе находятся два бруска, связанные легкой нерастяжимой нитью. Под действием горизонтальной силы 4 Н, приложенной к первому бруску, бруски движутся с ускорением 2 м/с2, а сила натяжения нити равна 1 Н.
а) Чему равны массы брусков?
б) Какова будет сила натяжения нити, если тянуть бруски горизонтальной силой 2 Н, приложенной ко второму бруску?

? 5. Два стальных цилиндра массой 1 кг и 3 кг подвешены на легких нерастяжимых нитях (рис. 22.2). Натяжение верхней нити 20 Н.

а) С каким ускорением движутся цилиндры? Куда оно направлено?
б) Чему равно натяжение нижней нити?
в) При каком натяжении верхней нити вес нижнего цилиндра равен силе тяжести, действующей на верхний цилиндр?

2. Движение тел в разных направлениях

Движение тел по горизонтали и вертикали

? 6. На гладком столе находится брусок массой mб, связанный с грузом массой mг легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок (рис. 22.3). Трением в блоке и его массой можно пренебречь. Чему равен модуль ускорения тел?

? 7. Чему равен в предыдущем задании вес груза, если m_б = 2 кг, а m_г = 0,5 кг? Почему вес груза оказался меньше действующей на него силы тяжести?

? 8. К концам легкой нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массой m и M, причем M > m (рис. 22.4). Трением в блоке и его массой можно пренебречь.

а) Чему равен модуль ускорения грузов?
б) Чему равна сила натяжения нити?
в) Чему равен вес каждого груза?

? 9. Как объяснить, что грузы разной массы имеют в данном случае одинаковый вес?
Подсказка. Вспомните о весе груза, движущегося с ускорением.

? 10. К концам легкой нерастяжимой нити, переброшенной через легкий неподвижный блок, подвешены грузы массой по 4,5 кг (рис. 22.5). На один из грузов положен перегрузок массой 1 кг. Трением в блоке можно пренебречь. В начальный момент тела покоятся.

а) С каким ускорением движутся тела?
б) С какой силой перегрузок давит на груз?
в) С какой силой блок давит на ось?

При наличии подвижных блоков ускорения тел, связанных нерастяжимой нитью, могут быть различными.

? 11. Грузы массой m1 и m2 подвешены так, как показано на рисунке 22.6. Нить легкая и нерастяжимая, трением в блоках и их массой можно пренебречь.

а) Чему равно отношение модулей ускорения первого и второго грузов?
б) Чему равно отношение сил, действующих со стороны нити на первый и второй грузы?
в) Чему равны проекции ускорений первого и второго груза на показанную на рисунке ось x?
г) При каком соотношении масс грузов ускорение первого груза направлено вверх?
д) Чему равна сила натяжения нити?
е) При каком соотношении масс грузов вес второго груза равен силе тяжести, действующей на первый груз?

Движение по наклонной плоскости

Пусть на гладкой наклонной плоскости с углом наклона α находится брусок массой m_б, связанный с грузом массой m_г легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок (рис. 22.7).

При рассмотрении движения тела по наклонной плоскости удобно использовать систему координат с наклонными осями O₁x₁ и O₁y₁, показанную на рисунке. А для рассмотрения движения груза по вертикали выберем направленную вниз ось O₂y₂.

Самое трудное в этой ситуации – правильно определить направление ускорения тел. Найдем сначала условие их равновесия.

? 12. Сделав чертеж, объясните смысл следующих уравнений для случая, когда тела находятся в равновесии:

? 13. Объясните, почему:
а) если m_г > m_б sin α, ускорение бруска направлено вверх.
б) если m_г < m_б sin α, ускорение бруска направлено вниз.
в) Объясните, для какого из этих двух случаев справедлива следующая система уравнений:

? 14. Чему равен модуль ускорения бруска, если он движется вдоль наклонной плоскости вверх?

? 15. Чему равен модуль ускорения бруска, если он движется вдоль наклонной плоскости вниз?

? 16. Брусок массой 1 кг находится на гладкой наклонной плоскости с углом наклона 30º. Он связан с грузом массой 200 г легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок. В начальный момент тела покоятся, и груз находится на высоте 20 см над столом. На какой высоте над столом будет находиться груз через 0,2 с?

Дополнительные вопросы и задания

17. К концам легкой нерастяжимой нити, переброшенной через блок, подвешены грузы. Масса одного из грузов 2 кг. Массой блока и трением в блоке можно пренебречь. Блок подвешен к динамометру. Во время движения грузов динамометр показывает 16 Н.
а) Чему равна сила натяжения нити?
б) С каким по модулю ускорением движутся тела?
в) Чему равна масса второго груза?

18. К концам легкой нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массой по 4 кг каждый. На один из грузов положен перегрузок. Сила натяжения нити во время движения грузов равна 50 Н.
а) С каким по модулю ускорением движутся тела?
б) Чему равен вес перегрузка? Указание: вес перегрузка проще всего найти из второго закона Ньютона для груза, на котором лежит перегрузок.
в) Чему равна масса перегрузка?

19. На гладком столе лежит вытянутая в прямую линию цепочка из 100 звеньев. За первое звено, расположенное слева, тянут влево с силой 2 Н, направленной вдоль цепочки. С какой силой взаимодействуют 20-е и 21-е звенья?
Подсказка. Представьте цепочку состоящей из двух частей, содержащих 20 и 80 звеньев каждая.

20. Найдите ускорения тел в системе, изображенной на рисунке 22.8. Масса бруска mб, масса груза mг, угол наклона плоскости α. Нить легкая и нерастяжимая, трением и массой блоков можно пренебречь.