Движение системы тел. Учет трения между телами системы

1. Тела в начальном состоянии движутся друг относительно друга

Пусть на гладком столе лежит доска длиной L и массой m_д. На краю доски находится небольшой брусок массой m_б (рис. 24.1). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент доска покоится, а бруску толчком сообщают начальную скорость ₀, направленную вдоль доски.

Как будут двигаться тела?

При скольжении бруска по доске на него и на доску действуют противоположно направленные равные по модулю силы трения скольжения _тр1 и _тр2 (рис. 24.2). В результате скорость бруска будет уменьшаться, а скорость доски – увеличиваться.

Возможны два варианта дальнейшего развития событий:

1) брусок будет скользить по доске, пока их скорости не станут равными, то есть пока брусок не остановится относительно доски. Начиная с этого момента силы трения перестанут действовать на доску и брусок, и они будут скользить по гладкому столу вместе как единое целое с постоянной конечной скоростью _к (рис. 24.3);

2) скорости бруска и доски не успеют сравняться до того момента, когда брусок дойдёт до противоположного конца доски. В таком случае брусок соскользнёт с доски, после чего они будут двигаться по столу с различными скоростями _б и _д, причём v_б > v_д (рис. 24.4).

Рассмотрим сначала случай, когда доска с бруском будут двигаться как единое целое (см. рис. 24.3), и выведем условие, при котором этот случай реализуется.

? 1. Как зависят от времени проекции скорости бруска и доски на ось x, показанную на рисунке 24.1?

? 2. Через какой промежуток времени доска и брусок будут двигаться как единое целое?

? 3. Чему будет равна скорость доски с бруском, когда они будут двигаться как единое целое?

Найдём теперь условие того, что брусок будет скользить по доске до тех пор, пока их скорости не сравняются.

Так произойдёт, если путь l, пройденный бруском относительно доски, не превышает длины доски L. Путь l мы найдём, определив ускорение бруска относительно доски.

? 4. Чему равно ускорение бруска относительно доски?

? 5. Чему равен путь l, пройденный бруском относительно доски до того момента. когда их скорости сравнялись?

? 6. При выполнении какого условия доска и брусок будут двигаться как единое целое?

Рассмотрим конкретный пример.

? 7. Небольшой брусок массой 200 г находится на краю доски массой 1 кг, лежащей на гладком столе. Коэффициент трения между доской и бруском 0,5. В начальный момент скорость бруска 2,4 м/с, а доска покоится. Через некоторое время брусок и доска стали двигаться как единое целое.
а) С каким ускорением относительно доски двигался брусок?
б) Сколько времени брусок двигался по доске?
в) Какова минимально возможная длина доски?
г) Чему равна скорость доски с бруском, когда они движутся как единое целое?

Пусть теперь условие того, что доска и брусок станут двигаться как единое целое, не выполнено. Тогда брусок соскользнёт с доски, и скорость каждого тела при дальнейшем скольжении по столу останется такой, какой она была в момент соскальзывания бруска.

Чтобы найти конечные скорости бруска и доски, можно поступить, например, так.

1) Зная длину доски L, начальную скорость бруска v₀ и ускорение бруска относительна доски, найдём время t_ск, в течение которого брусок будет скользить по доске.

2) Зная время t_ск, найдём скорости бруска и доски в момент соскальзывания бруска с доски. С этими скоростями они и будут скользить далее по столу.

Воспользуйтесь этими советами при выполнении следующего задания.

? 8. Небольшой брусок массой 400 г находится на краю доски длиной 1 м и массой 800 г, лежащей на гладком столе (рис. 24.1). Коэффициент трения между доской и бруском 0,2. В начальный момент скорость бруска 3 м/с, а доска покоится.
а) С каким по модулю ускорением движется брусок относительно доски?
б) Какой должна была бы быть длина доски, чтобы скорость бруска относительно доски стала равной нулю?
в) Сколько времени брусок движется по доске согласно условию задания?
г) Чему равна скорость бруска относительно стола в тот момент, когда брусок соскользнёт с доски?
д) Какой путь пройдёт доска относительно стола до того момента, когда брусок соскользнёт с доски?

2. Тела в начальном состоянии покоятся друг относительно друга

На гладком столе лежат один на другом два бруска (рис. 24.5). Массу нижнего бруска обозначим mн‚ в массу верхнего — mв. Коэффициент трения между брусками μ.

К верхнему бруску прикладывают горизонтально направленную вправо силу .
Самое главное в таких задачах — увидеть две возможности:

1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга — тогда между ними будут действовать силы трения скольжения;

2) бруски могут начать двигаться как единое целое — тогда между ними будут действовать силы трения покоя.

Начнём с первой возможности: в таком случае модуль силы трения скольжения, действующей на каждое тело, равен μm_вg. Модуль же силы трения покоя заранее неизвестен.

? 9. Объясните, почему в случае, когда верхний брусок скользит по нижнему, их ускорения относительно стола выражаются формулами

Учтём теперь, что сила приложена к верхнему бруску и что бруски вначале покоились. Если верхний брусок скользит по нижнему, то ускорение верхнего бруска больше, чем ускорение нижнего. Это позволяет получить условие того, что бруски движутся друг относительно друга.

? 10. Объясните, почему бруски будут двигаться друг относительно друга, если

? 11.На столе стоит тележка массой 500 г, а на ней лежит кирпич массой 2,5 кг. Коэффициент трения между кирпичом и тележкой 0,5, трением между тележкой и столом можно пренебречь. С какой горизонтальной силой надо тянуть кирпич, чтобы стащить его с тележки?

Итак, чтобы стащить тяжёлый кирпич со сравнительно лёгкой тележки, надо приложить к нему горизонтальную силу, которая в несколько раз превышает вес кирпича!

? 12. Объясните, почему тела движутся как единое целое, если

? 13. Объясните, почему, когда бруски движутся как единое целое, их (общее) ускорение а и модуль действующей на каждый брусок силы трения покоя F_тр.пок выражаются формулами

Рассмотрим теперь пример, когда горизонтальная сила приложена к нижнему бруску.

Пусть на гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н, а на нём — брусок массой m_в (рис. 24.6). Коэффициент трения между брусками μ. К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшеивая через блок, а к нити подвешен груз массой m_г. Как будут двигаться тела?

В этой ситуации тоже есть две возможности:
1) бруски могут начать двигаться друг относительно друга;
2) бруски могут начать двигаться как единое целое.

На этот раз проще начать со второй возможности, потому что, когда бруски движутся как единое целое, мы можем рассматривать систему, состоящую только из двух тел — объединённого бруска массой M = m_в + m_н и груза массой m_г.

? 14. С каким ускорением движутся бруски как единое целое?

? 15. С каким максимально возможным ускорением могут двигаться бруски как единое целое?

Подсказка. Ускорение верхнему бруску сообщает сила трения покоя, которая не превышает силу трения скольжения.

? 16. Объясните, почему бруски движутся как единое целое, если выполнено соотношение

Если это соотношение не выполнено. то бруски будут двигаться порознь. Ускорение верхнему бруску сообщает в таком случае сила трения скольжения, равная по модулю μmвg. Такая же по модулю, но противоположно направленная сила трения скольжения действует на нижний брусок.

? 17. Каковы ускорения брусков, если они движутся друг относительно друга?

? 18. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой m_н = 0,5 кг, а на нём — другой брусок массой m_в = 0,3 кг (см. рис. 24.6). К нижнему бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, переброшенная через блок, и к нити подвешен груз массой m_г = 0,2 кг. В начальный момент бруски покоятся.
а) При каком наименьшем коэффициенте трения μmin между брусками они будут двигаться как единое целое?
б) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски при коэффициенте трения между ними 0,5?
в) С каким ускорением (ускорениями) движутся бруски, если коэффициент трения между ними равен 0,1?

Дополнительные вопросы и задания

19. На гладком столе лежит доска длиной l и массой M. На одном конце доски находится небольшой брусок массой m (рис. 24.7). Коэффициент трения между бруском и доской μ. В начальный момент тела покоятся. Какую наименьшую скорость надо толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?

20. На гладком столе лежат один на другом три одинаковых бруска массой m = 100 г каждый (рис. 24.8). Коэффициент трения между брусками μ = 0,2. К среднему бруску приложена горизонтально направленная сила .
а) С каким максимально возможным ускорением может двигаться верхний брусок?
б) С каким максимально возможным ускорением может двигаться нижний брусок?
в) При каких значениях силы F все бруски будут двигаться как единое целое?