Всемирное тяготение
1. Закон всемирного тяготения
Вы уже знаете, что между всеми телами действуют силы притяжения, называемые силами всемирного тяготения.
Их действие проявляется, например, в том, что тела падают на Землю, Луна вращается вокруг Земли, а планеты вращаются вокруг Солнца. Если бы силы тяготения исчезли, Земля улетела бы от Солнца (рис. 14.1).
Закон всемирного тяготения сформулировал во второй половине 17-го века Исаак Ньютон.
Две материальные точки массой m1 и m2 находящиеся на расстоянии R, притягиваются с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Модуль каждой силы
Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной. (От латинского «гравитас» - тяжесть.) Измерения показали, что
G = 6,67 * 10-11 Н * м2/кг2. (2)
Закон всемирного тяготения раскрывает еще одно важное свойство массы тела: она является мерой не только инертности тела, но и его гравитационных свойств.
? 1. Чему равны силы притяжения двух материальных точек массой 1 кг каждая, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга? Во сколько раз эта сила больше или меньше веса комара, масса которого 2,5 мг?
Столь малое значение гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем гравитационного притяжения между окружающими нас предметами.
? 2. Оцените силы гравитационного притяжения двух человек, находящихся на расстоянии 10 м друг от друга.
Силы тяготения заметно проявляют себя только тогда, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет огромную массу – например, является звездой или планетой.
? 3. Как изменится сила притяжения между двумя материальными точками, если расстояние между ними увеличить в 3 раза?
? 4. Две материальные точки массой m каждая притягиваются с силой F. С какой силой притягиваются материальные точки массой 2m и Зm, находящиеся на таком же расстоянии?
2. Движение планет вокруг Солнца
Расстояние от Солнца до любой планеты во много раз больше размеров Солнца и планеты. Поэтому при рассмотрении движения планет их можно считать материальными точками. Следовательно, сила притяжения планеты к Солнцу
где m – масса планеты, MС – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до планеты.
Будем считать, что планета движется вокруг Солнца равномерно по окружности. Тогда скорость движения планеты можно найти, если учесть, что ускорение планеты a = v2/R обусловлено действием силы F притяжения Солнца и тем, что согласно второму закону Ньютона F = ma.
? 5. Докажите, что скорость планеты
Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты.
? 6. Радиус орбиты Сатурна примерно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли. Найдите устно, чему примерно равна скорость Сатурна, если Земля движется по своей орбите со скоростью 30 км/с?
За время, равное одному периоду обращения T, планета, двигаясь со скоростью v, проходит путь, равный длине окружности радиуса R.
? 7. Докажите, что период обращения планеты
Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем больше период обращения планеты.
? 8. Оцените период обращения Сатурна (в земных годах).
? 9. Докажите, что для всех планет Солнечной системы
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (5).
Из формулы (6) следует, что для всех планет Солнечной системы отношение куба радиуса орбиты к квадрату периода обращения одинаково. Эту закономерность (ее называют третьим законом Кеплера) обнаружил немецкий ученый Иоганн Кеплер на основании результатов многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.
3. Условия применимости формулы для закона всемирного тяготения
Ньютон доказал, что формулу
F = G(m1m2/R2)
для силы притяжения двух материальных точек можно применять также:
– для однородных шаров и сфер (R – расстояние между центрами шаров или сфер, рис. 14.2, а);
– для однородного шара (сферы) и материальной точки (R – расстояние от центра шара (сферы) до материальной точки, рис. 14.2, б).
4. Сила тяжести и закон всемирного тяготения
Второе из приведенных выше условий означает, что по формуле (1) можно найти силу притяжения тела любой формы к однородному шару, который намного больше этого тела. Поэтому по формуле (1) можно рассчитать силу притяжения к Земле тела, находящегося на ее поверхности (рис. 14.3, а). Мы получим выражение для силы тяжести:
(Земля не является однородным шаром, но ее можно считать сферически симметричной. Этого достаточно для возможности применения формулы (1).)
? 10. Докажите, что вблизи поверхности Земли
где MЗем – масса Земли, RЗем – ее радиус.
Подсказка. Используйте формулу (7) и то, что Fт = mg.
Пользуясь формулой (1), можно найти ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли (рис. 14.3, б).
? 11. Докажите, что
? 12. Чему равно ускорение свободного падения на высоте над поверхностью Земли, равной ее радиусу?
? 13. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8), в которой массу и радиус Земли замените на массу и радиус Луны.
? 14. Радиус звезды белый карлик может быть равен радиусу Земли, а ее масса – равной массе Солнца. Чему равен вес килограммовой гири на поверхности такого «карлика»?
5. Первая космическая скорость
Представим себе, что на очень высокой горе установили огромную пушку и стреляют из нее в горизонтальном направлении (рис. 14.4).
Чем больше начальная скорость снаряда, тем дальше он упадет. Он не упадет вообще, если подобрать его начальную скорость так, чтобы он двигался вокруг Земли по окружности. Летя по круговой орбите, снаряд станет тогда искусственным спутником Земли.
Пусть наш снаряд-спутник движется по низкой околоземной орбите (так называют орбиту, радиус которой можно принять равным радиусу Земли RЗем).
При равномерном движении по окружности спутник движется с центростремительным ускорением a = v2/RЗем, где v – скорость спутника. Это ускорение обусловлено действием силы тяжести. Следовательно, спутник движется с ускорением свободного падения, направленным к центру Земли (рис. 14.4). Поэтому a = g.
15. Докажите, что при движении по низкой околоземной орбите скорость спутника
Подсказка. Воспользуйтесь формулой a = v2/r для центростремительного ускорения и тем, что при движении по орбите радиуса RЗем ускорение спутника равно ускорению свободного падения.
Скорость v1, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось под действием силы тяжести по круговой орбите вблизи поверхности Земли, называют первой космической скоростью. Она примерно равна 8 км/с.
? 16. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу и радиус Земли.
? 17. Оцените, во сколько раз первая космическая скорость для Луны меньше, чем для Земли. Примите, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли.
Подсказка. В формуле, полученной при выполнении предыдущего задания, замените массу и радиус Земли на массу и радиус Луны.
Чтобы тело навсегда покинуло окрестности Земли, ему надо сообщить скорость, равную примерно 11,2 км/с. Ее называют второй космической скоростью.
6. Как измерили гравитационную постоянную
Если считать известными ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, массу и радиус Земли, то значение гравитационной постоянной G можно легко определить с помощью формулы (7). Проблема, однако, в том, что до конца 18-го века массу Земли измерить не удавалось.
Поэтому, чтобы найти значение гравитационной постоянной G, надо было измерить силу притяжения двух тел известной массы, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. В конце 18-го века такой опыт смог поставить английский ученый Генри Кавендиш.
Он подвесил на тонкой упругой нити легкий горизонтальный стержень с небольшими металлическими шарами a и b и по углу поворота нити измерил силы притяжения, действующие на эти шары со стороны больших металлических шаров А и В (рис. 14.5). Малые углы поворота нити ученый измерял по смещению «зайчика» от прикрепленного к нити зеркальца.
Этот опыт Кавендиша образно назвали «взвешиванием Земли», потому что этот опыт впервые позволил измерить массу Земли.
? 18. Выразите массу Земли через G, g и RЗем.
Дополнительные вопросы и задания
19. Два корабля массой 6000 т каждый притягиваются с силами по 2 мН. Каково расстояние между кораблями?
20. С какой силой Солнце притягивает Землю?
21. С какой силой человек массой 60 кг притягивает Солнце?
22. Чему равно ускорение свободного падения на расстоянии от поверхности Земли, равном ее диаметру?
23. Во сколько раз ускорение Луны, обусловленное притяжением Земли, меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли?
24. Ускорение свободного падения на поверхности Марса в 2,65 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли. Радиус Марса приближенно равен 3400 км. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?
25. Чему равен период обращения искусственного спутника Земли на низкой околоземной орбите?
26. Чему равна первая космическая скорость для Марса? Масса Марса 6,4 * 1023 кг, а радиус 3400 км.