Средняя и мгновенная скорости

Сквозь смежную метель мчится, сверкая огнями, экспресс. Вдруг поезд резко затормозил и остановился перед красным сигналом светофора. Никто из пассажиров, вероятно, и не подумал, что именно этот сигнал предупредил катастрофу: без него экспресс на полном ходу врезался бы в товарный поезд, оказавшийся на пути движения экспресса.

Прислушаемся к разговору, который происходит в одном из купе между двумя мальчиками и их папой, инженером.

– Ничего не видно! Кажется, мы стоим в поле. Почему, папа?

– Очевидно, мы стоим перед красным сигналом, запрещающим движение. Участок перед нами, видимо, занят. Видишь ли, весь путь разбит на участки, на границах которых находятся светофоры, они обеспечивают безопасность движения (рис. 6). При зеленом огне светофора машинист не снижает скорости движения поезда. Желтый свет требует снизить скорость, чтобы успеть затормозить и остановить поезд, если следующий сигнал окажется красным.

Володя (мальчик постарше, вмешиваясь в разговор). Игорь! Помнишь, мы дома спорили, что такое средняя скорость. Ты еще никак не мог понять этого.

– Мы учили, что скорость тела можно узнать, разделив пройденный путь на время его прохождения. Предположим, что на прохождение пути в 900 км от Москвы до Кирова, к которому мы подъезжаем, потребовалось 14 ч. То, что получится от деления пути на время, и будет, по-моему, средняя скорость.

– И притом «участковая», или «коммерческая», скорость с учетом времени стоянок,— сказал папа.— Вот если бы ты рассмотрел участок Москва — Александров, который наш поезд прошел без остановок за 1,5 ч, то средняя скорость поезда («техническая скорость») больше бы соответствовала физическому понятию о средней скорости. Кто из вас объяснит мне, в чем разница понятий: средняя скорость поезда на участке Москва — Александров 70 км/ч и средняя скорость молекул кислорода при 0°С 460 м/с?"

Игорь. По-моему, разница только в числах.

Володя. Неверно! Средняя скорость поезда — это не действительная скорость поезда, а такая постоянная скорость, с которой он будто бы шел каждую минуту, каждую секунду и прошел бы тот же путь за то же время, что и при переменном движении. На самом же деле скорость поезда на участке все время менялась в зависимости от профиля пути.

Игорь. А средняя скорость молекул?

Володя. Ну, тут речь идет не об одной молекуле. Здесь вычисляется среднее из скоростей множества молекул. Не все молекулы данного газа имеют скорость 460 м/с при 0 °С: одни молекулы движутся быстрее, другие — медленнее; 460 м/с — это такая же средняя величина, как средняя продолжительность жизни населения страны, средняя зарплатами т. п. Так ведь, папа?

– Верно, Володя. В механике под средней скоростью переменного движения действительно понимают скорость такого воображаемого равномерного движения, при котором тело прошло бы тот же путь и за такое же время, как и при данном переменном движении. Чтобы найти эту скорость, надо попросту разделить значение пройденного пути на время, за которое этот путь был пройден.

Что же касается средней скорости молекулы газа, то здесь обычно поступают иначе. Пусть для некоторого произвольно выбранного момента времени известны значения мгновенной скорости у большого числа молекул. Надо сложить все эти значения и полученную сумму разделить на число рассматриваемых молекул.

Впрочем, следует иметь в виду, что средняя скорость молекулы газа может быть определена так же, как средняя скорость в механике. Предположим, что мы в состоянии следить за какой-то конкретной молекулой и можем найти путь, который прошла эта молекула (испытав много столкновений) за некоторый промежуток времени. Разделив этот путь на рассматриваемый промежуток времени, мы получим среднюю скорость молекулы.

Володя. А будут ли совпадать средние скорости, вычисленные первым и вторым способами?

– Оказывается, будут, если в первом случае учитывать достаточно большое число молекул, а во втором рассматривать достаточно большой промежуток времени. Но давайте вернемся к механике.

Вот вам маленькая задача-ловушка. Ну-ка решите в уме: поезд проходит расстояние в 240 км со скоростью 80 км/ч, обратно — со скоростью 40 км/ч. Следовательно, в среднем он движется со скоростью 60 км/ч. Второй поезд это же расстояние в оба конца проходит с постоянной скоростью 60 км/ч. Одинаковое ли время затратят оба поезда на пробег туда и обратно?"

Игорь (спустя несколько минут). Первый поезд движется 3 ч в одном направлении и 6 ч — в обратном, а всего 9 ч. Второй поезд находится в пути всего 8 ч. Странно! Эта задача, кажется, не подходит под определение средней скорости движения.

– Нет, Игорь, ловушка в самом условии: нельзя считать, что первый поезд двигался со средней скоростью 60 км/ч. Подумай, какой путь прошел первый поезд в оба конца".

– Этот путь равен 480 км.

– А за сколько времени?

– За 3 + 6, т. е. за 9 ч.

– Значит, средняя скорость первого поезда, определяемая по формуле v_ср = s/t будет равна: v_ср = 480 км / 9 ч = 53,3 км/ч, а не 60 км/ч. Второй поезд, двигавшийся с постоянной скоростью 60 км/ч, прошел этот же путь быстрее.

– Что-то мы долго стоим. Пожалуй, успеем повторить всю физику переменного движения, пока путь откроется.

– Вот ты, Игорь, спрашивал: «Как, сидя в вагоне, определить скорость поезда?» Среднюю скорость (я разумею среднюю скорость на каком-нибудь участке) ты мог бы определить приблизительно по счету телеграфных столбов, мимо которых проносится поезд, скажем, за 10 мин. Но лучше считать не телеграфные столбы, расстояние между которыми не всегда одинаково, а километровые столбы. Если бы у тебя был секундомер, ты мог бы измерить время прохождения участка пути длиной 1 км. Формула для определения средней скорости поезда в метрах в секунду была бы такая: v_ср = 1000(n – 1) / t, где n — число столбов, а (n – 1) — число километровых промежутков, пройденных за время t.

Володя. Мы все время говорим о средней скорости. А как определить, что такое мгновенная скорость?

Игорь. Это действительная скорость. Это та скорость, которую имеет тело в данный момент времени в данной точке пути.

Володя. Мне кажется, папа, что такое «определение» ничего не определяет.

– Ты прав. Чтобы дать определение мгновенной скорости, надо исходить из понятия средней скорости. Пусть мы хотим найти скорость тела в некоторый момент времени t. Рассмотрим промежуток времени длительностью Δt₁: от момента t до момента t + Δt₁. Пусть за этот промежуток времени тело прошло путь Δs₁. Обозначим через v_ср1 среднюю скорость тела за данный промежуток времени:

v_ср1 = Δs₁ / Δt₁

Затем рассмотрим более короткий промежуток времени — от момента t до момента t + Δt₂ (Δt₂ меньше, чем Δt₁). Пусть за этот промежуток пройден путь Δs₂. Запишем среднюю скорость:

v_ср2 = Δs₂/ Δt₂

Будем далее рассматривать все более короткие промежутки времени, отсчитывая их всякий раз от момента t. Измеряя пути, пройденные за эти промежутки, найдем соответствующие средние скорости. В результате мы получим последовательность средних скоростей:

v_ср1, v_ср2, v_ср3, …,

вычисленных за промежутки времени от t до t + Δt при условии, что Δt постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю. Предел такой последовательности средних скоростей и есть мгновенная скорость — скорость тела в момент t.

Володя. Получается, что, чем меньше отрезок пути, тем в большей степени вычисленная средняя скорость будет приближаться к истинной, т. е. мгновенной скорости.

– Совершенно верно.

Игорь. Ну, вот и свисток, путь свободен. Поехали!