Путь при прямолинейном равномерном движении

Выясним, как определить путь, пройденный телом при прямолинейном равномерном движении за некоторый промежуток времени, если известна зависимость координаты от времени в графическом виде, как, например, на рис. 47. В течение промежутка времени от t₀ = 0 до t₁ = 4 с рассматриваемое тело двигалось с постоянной скоростью, имеющей значение v₀₁ = 2 м/с.

Как вы помните, в атом случае закон движения в аналитической форме записывается в виде: x = x₀ + v₀₁ · t = 3 + 2 · t. Ясно, что пройденный телом путь к моменту времени t будет равен

s = |x - x₀| = v₀₁ · t.

Например, к моменту времени t = 4 с тело прошло путь

s = 2 · t = 2 · 4 = 8 (м).

При равномерном движении в положительном направлении оси X со скоростью, значение которой равно v, за промежуток времени от момента t₀ = 0 до момента t тело проходит путь s = v · t.

Точно так же можно найти путь при равномерном прямолинейном движении тела в отрицательном поправлении оси X. Для этого в формулу s = v · t необходимо:
1) подставить на место v модуль скорости тела;
2) подставить на место t длительность промежутка времени, в течение которого тело двигалось в отрицательном направлении оси X.

Действительно (см. рис. 47), если тело за промежуток времени от t₁ до t₂ двигалось с постоянной скоростью, имеющей значение v₁₂ = -2 м/с, то пройденный за это время путь равен

s₁₂ = |v₁₂| · (t₂ - t₁) = 2 · 3 = 6 (м).

Путь при равномерном прямолинейном движении можно найти еще одним способом. Для этого необходимо построить график зависимости значения скорости этого тела от времени. Пример такого графика приведен на рис. 48. Видно, что в течение промежутка времени от t₀ = 0 до t₁ = 4 с модуль и направление скорости не изменялись, т. е. v₀₁ = 2 м/с – постоянная величина. Так как за каждую секунду тело проходило по 2 м, то за 4 с оно прошло путь 2 · 4 = 8 (м). Иначе говоря, s₀₁ = v₀₁ · (t₁ - t₀).

Из рис. 48 на котором приведена зависимость значения скорости тела от времени, легко увидеть, что пройденный телом за время от t₀ до t₁ путь в точности равен площади голубого прямоугольника под графиком скорости. Ведь, как известно, площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, а они как раз равны v₀₁ = 2 м/с и (t₁ - t₀) = 4 с. Так как t₀ = 0, мы опять приходим к формуле для расчета пути при равномерном движении в положительном направлении оси X: s = v · t, где v = v₀₁, t = (t₁ - t₀).

Путь, пройденный прямолинейно движущимся телом, численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости этого тела от времени.

Посмотрим теперь на изображенный на рис. 48 прямоугольник серого цвета. Зададим себе вопрос: чему численно равна площадь этого прямоугольника? Как видно из рисунка, длина одной стороны этого прямоугольника численно равна модулю скорости |v₁₂|, длина другой стороны – промежутку времени (t₂ - t₁). Следовательно, площадь серого прямоугольника численно равна пройденному телом пути за время от t₁ до t₂:

s₁₂ = |v₁₂| · (t₂ - t₁) = 2 · (7 - 4) = 6 (м).

Итоги

При равномерном прямолинейном движении в положительном направлении оси X со скоростью v от момента t₀ = 0 до следующего момента t тело проходит путь s, равный s = v · t.

Путь, пройденный прямолинейно движущимся телом, численно равен площади под графиком зависимости модуля скорости этого тела от времени.

Вопросы

1. Как рассчитать путь, пройденный телом при прямолинейном равномерном движении в положительном направлении выбранной координатной оси?
2. Что нужно сделать для расчета пути в случае прямолинейного равномерного движения точечного тела в отрицательном направлении оси координат X? Как в этом случае рассчитать путь с помощью графика зависимости скорости от времени?

Упражнения

1. Определите:
а) чему численно равна площадь прямоугольника, закрашенного на рис. 48 синим цветом?
б) чему численно равна сумма площадей прямоугольников: синего и серого; серого и голубого; синего, серого и голубого? Что это за величины?

2. На рис. 49 приведен график зависимости значения скорости движения тела вдоль оси X от времени.

Ответьте на вопросы:
а) чему равны значения скоростей: v₀₁, v₁₂ и v₂₃?
б) чему равны пути: s₀₁, s₁₂, s₀₂, s₀₃, s₁₃ и s₂₃?