Движение тел относительно друг друга. Задача «встреча»

Рассмотрим, как будет выглядеть решение уже знакомой нам задачи «встреча» в системе отсчета, связанной с одним из движущихся тел.

Пусть по прямолинейной дороге навстречу друг другу едут мотоциклист и велосипедист, как показано на рис. 38. При этом относительно Земли модуль скорости мотоциклиста |v_м| = 20 м/с, а модуль скорости велосипедиста – |v_в| = 10 м/с. Определим, через какое время произойдет их встреча, если в момент начала наблюдения расстояние между ними l = 600 м.

Шаг 1. Пусть начало отсчета совпадает с мотоциклистом. Ось X направим вдоль дороги от мотоциклиста в сторону велосипедиста, как показано на рис. 39. В качестве единицы длины выберем 1 м. Часы (секундомер) включим в момент начала наблюдения.

Шаг 2. Найдем начальную координату велосипедиста x_в0 в момент времени t = 0. Видно, что в выбранной системе отсчета x_в0 = 600 м, так как расстояние от начала отсчета (мотоциклиста) до велосипедиста l = 600 м.

Шаг 3. В выбранной системе отсчета мотоциклист неподвижен (так как он является началом отсчета и его координата все время равна x_м = 0). Определим значение скорости велосипедиста. В выбранной системе отсчета Земля вместе с дорогой движутся в отрицательном направлении оси X со скоростью, имеющей значение V_з = -|v_м| = -20 м/с. Велосипедист по условию задачи движется относительно Земли также в отрицательном направлении оси X (навстречу мотоциклисту) со скоростью, имеющей значение v_в = -10 м/с. Значит, относительно выбранной системы отсчета (мотоциклиста) велосипедист будет двигаться со скоростью, значение которой равно V_в = V_з + v_в = (-20) + (-10) = -30 м/с. Напомним, что здесь, как и в предыдущем параграфе, мы обозначаем буквами v значения скоростей относительно Земли, а значения скоростей тел в выбранной системе отсчета – большими буквами V.

Шаг 4. Запишет законы движения мотоциклиста и велосипедиста:

x_м = 0
x_в = x_в0 + V_в · t = 600 - 30 · t.

Шаг 5. Представим в виде уравнения условие задачи, т. е. условие встречи мотоциклиста и велосипедиста. Как вы помните, это условие означает равенство координат движущихся навстречу друг другу тел. Поэтому

x_в = x_м.

Шаг 6. Объединим полученные уравнения, присвоив каждому из них номер и название:

x_м = 0 (1) (закон движения мотоциклиста)
x_в = 600 - 30 · t, (2) (закон движения велосипедиста)
x_в = x_м. (3) (условие встречи)

Шаг 7. Решим полученные уравнения, подставив в условие встречи (3) координаты x_м и x_в из уравнений (1) и (2):

0 = 600 - 30 · t,
t_встр = t = 600/30 = 20 (с).

Таким образом, встреча произойдет через 20 с.

Обратим внимание на существенное отличие данного способа решения от способа, которым мы решали задачу «встреча» раньше. Оно заключается в том, что теперь, когда мы связали систему отсчета с одним из движущихся тел, закон его движения стал очень простым: x_м(t) = 0. Это существенно упростило решение уравнений. Особенно важно это будет в дальнейшем, когда тела в задачах будут двигаться намного сложнее.

Упражнения

1. Заметим, что начиная с шага 4 мы могли бы решить рассмотренную только что задачу и графическим способом. Это сделано на рис. 40. Объясните, что изображено на этом рисунке.

2. Решите задачу, изображенную на рис. 38, в системе отсчета, связанной с велосипедистом. (Особое внимание уделите вопросам: куда направить координатную ось? Куда и с какой скоростью в этой системе отсчета будут двигаться Земля и мотоциклист?)

3. Выполните упражнение 2 графическим способом начиная с шага 4.

4. Решите в общем виде задачу, условие которой изображено на рис. 38, в системе отсчета, связанной с мотоциклистом. Проведите анализ полученного решения.